第74章 推翻直覺
隨著趙子賢的遺憾離場，穹頂實驗室內的氣氛有些凝滯。
「趙子賢專精計算數學，竟然也被淘汰了……」
「這是現場比賽，人類會緊張，但AI不會緊張啊。」
「對的……這也是AI的優勢。」
「才第二題，人類陣營只剩5人了。」
「別慌，齊神和韋神還在！」
……
彈幕里的吃瓜群眾，看著直播畫面里冰冷駭人的AI集群，不禁有些擔憂。
華夏社的記者也捕捉到了這絲焦慮，他在觀賽台上採訪田港院士：「田院士，人類陣營接連淘汰兩人，面對AI這種近乎碾壓的算力優勢，您覺得人類還有翻盤的希望嗎？」
田港院士笑道：「大家不必過度悲觀。
前兩題，一個是超大項數的交錯級數求和，一個是十萬階矩陣的生成樹計數，屬於海量枚舉和張量並行計算，這原本就是AI的舒適區。
但是呢，
齊物同學也向我們證明了，有些題不進行海量枚舉，依靠人類的奇思妙想也能解出來。
畢竟，數學的王冠從來都不是計算，而是思維、直覺和創造。」
「從第三題開始，我們的題目將升級，不再考驗算力和推導，而是考驗創造力。」
大屏幕上很快投射出第三題的題干：
【problem 3：在日常的直覺和經典的「山路定理」中，我們都有一個樸素的認知：如果在連綿的大地上存在兩個山谷的谷底（即兩個局部極小值點），那麼在這兩個山谷之間，必然存在一個鞍點（埡口），你要翻過這個埡口才能從一個山谷走到另一個山谷。
任務：請推翻這一直覺認知。
請在R²平面上，手動構造一個處處光滑的二元多項式函數f(x，y)，使得該多項式函數恰好具有兩個局部極小值點，且不存在任何其他臨界點（絕對沒有局部極大值，也絕對沒有鞍點）。
要求：請直接給出該二元多項式 f(x，y)的最簡解析式，並附帶偏導數證明。嚴禁使用三角函數、指數函數及分段函數。】
此題一處，彈幕很精彩。
「我怎麼感覺我能看懂這道題呢？」
「山路定理我知道，就是從一個山谷到另一個山谷，肯定要爬過中間的山脊線！」
「這不是常識嗎？為什麼題目要推翻這一常識？」
「題目的意思是讓你構建兩個坑，然後坑和坑中間是平地。」
「很簡單吧，找個平底鍋砸兩個坑不就行了？」
「SB，題目里說了處處光滑！你砸完了不就有稜角了？」
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝑇𝑊看書網→𝑠ℎ𝑢.𝑡𝑤網站，觀看最快的章節更新）
「對啊，兩邊低，肯定中間高！一高起來，不就是山口了！」
「數學系本科生來了，感覺這道題出錯了，違背常識。」
一開始大家還覺得這道題看起來很簡單，但是看著看著就覺得不對勁。
在紙上畫兩個坑，無論怎麼連，中間必定會隆起一個坡，也就是鞍點。
「抽象一點的說，這道題是讓你畫有兩個南極，但是沒有赤道的地球。」
「？？這合理嗎？」
記者訝聲道：「田院士，這道題……」
田港神秘一笑：「題目沒錯。在有限的幾何直觀里，山路定理當然是絕對成立的，但是在代數幾何里，此題有解，只是極度違背人類的幾何直覺。
這也是我們出這道題的初衷。
AI依賴於訓練數據，對見過的模型可以秒解；但是對毫無規律可循、需要打破常規直覺的反例構造，AI就無法十幾秒做出來了。
此時，人類和AI的差距並沒有很大。
甚至說，天才的靈光一閃，是可以秒殺AI的。」
菲爾茲獎得主博切爾茲教授也道：「尋找滿足特定臨界點個數的非線性多項式系統，需要用到柱形代數分解算法。
其時間複雜度是雙指數級的O(2^(2^n))！
這是一個無限連續函數空間，AI的海量枚舉，優勢會無限縮小。」
果不其然，七大AI大模型的指示燈由藍轉紅，而後液冷風扇瘋狂運轉。
沒有現成數據，無法暴力枚舉，面對這種純粹的直覺構造體，AI只能採用笨拙的方法——
蒙特卡洛樹搜索和遺傳算法。
還是窮舉、試錯那一套。
只是頂尖超算雖然每秒能生成上千組多項式，但符合【恰好兩個極小、無鞍無極大、整係數多項式】全部約束的解卻是極度稀疏的……
想找到那個正確答案，並不容易。
人類陣營這邊，五位天才同樣在苦戰。
普林斯頓的John Chen在草稿紙上寫下了一個又一個四次多項式，求導，聯立，然後絕望地發現必定存在鞍點。
劍橋的劉一凡試圖用複平面解析延拓，但題目嚴格要求實數域上的二元多項式，此路有些不通啊……
MIT的李明澤滿頭大汗，拓撲學是他的強項，他知道鞍點必須逃逸到無窮遠，但他始終無法把那種「抽象的拓撲結構」具象化為一段簡明扼要的代數多項式！
這就是純數學的殘酷。
你明明知道門在天上，
但你就是造不出那把登天的梯子。
一號艙內。
時間過去三十秒了，齊物仍在思考。
這道題其實很好理解：
【讓你造一塊光滑的地面，但是需要滿足三個離譜條件：
1、地上只能有兩個深坑，僅此兩處最低點；
2、整片地面沒有任何山頭（無極大值）
3、整片地面沒有任何埡口、山口、過渡點（無鞍點）。】
兩個坑安安靜靜擺在地上，從A坑去B坑，全程上坡下坡，但是中間沒有任何翻山的口子，也沒有任何凸起的小山。
聽起來很違背常識，但是在數學上是可能的。
「讓那個必然存在的鞍點，沿著非緊緻的空間邊緣，直接逃逸到無窮遠……需要構建一個通向無窮遠處的代數峽谷……
想要兩個極小值點，且非負，最簡單的代數結構就是平方和。
鞍點必須逃逸……那就讓偏導數方程組的解，在某條漸近線上不閉合？
也就是x→0時，讓y→∞。」
一個高維的複流形在齊物的腦中生成、旋轉、扭曲、摺疊。
齊物看到的不是有坑的地面，而是多項式梯度在無窮遠處的纖維叢投影。
一分半之後，齊物睜開眼睛。
眼神清亮如水。
拿起電容筆，直接寫在答案：
f(x，y)=(x²y-x-1)²+(x²-1)²
順手給出偏導數證明：
「∂f/∂x=2(x²y-x-1)(2xy-1)+2(x²-1)(2x)=0
∂f/∂y=2(x²y-x-1)x²=0
由∂f/∂y=0，若x=0，代入第一式得2(-1)(-1)=2≠0，矛盾。
故，必有x²y-x-1=0
代入第一式，得x²-1=0，即x=±1
當x=1時，y=2
當x=-1時，y=0
可知，此函數僅有兩個臨界點（1，2）與(-1，0)，函數值為0（絕對最小值）。
此時，無任何臨界點，鞍點在x→0時沿漸近線逃逸至無窮遠。
Q·E·D。」
「叮！」
【齊物，解答完畢，用時3分12秒，答案正確。】
？？
「臥槽，3分12秒提交答案！」
「齊物好快！」
「這次人類比AI快了！」
「趙子賢專精計算數學，竟然也被淘汰了……」
「這是現場比賽，人類會緊張，但AI不會緊張啊。」
「對的……這也是AI的優勢。」
「才第二題，人類陣營只剩5人了。」
「別慌，齊神和韋神還在！」
……
彈幕里的吃瓜群眾，看著直播畫面里冰冷駭人的AI集群，不禁有些擔憂。
華夏社的記者也捕捉到了這絲焦慮，他在觀賽台上採訪田港院士：「田院士，人類陣營接連淘汰兩人，面對AI這種近乎碾壓的算力優勢，您覺得人類還有翻盤的希望嗎？」
田港院士笑道：「大家不必過度悲觀。
前兩題，一個是超大項數的交錯級數求和，一個是十萬階矩陣的生成樹計數，屬於海量枚舉和張量並行計算，這原本就是AI的舒適區。
但是呢，
齊物同學也向我們證明了，有些題不進行海量枚舉，依靠人類的奇思妙想也能解出來。
畢竟，數學的王冠從來都不是計算，而是思維、直覺和創造。」
「從第三題開始，我們的題目將升級，不再考驗算力和推導，而是考驗創造力。」
大屏幕上很快投射出第三題的題干：
【problem 3：在日常的直覺和經典的「山路定理」中，我們都有一個樸素的認知：如果在連綿的大地上存在兩個山谷的谷底（即兩個局部極小值點），那麼在這兩個山谷之間，必然存在一個鞍點（埡口），你要翻過這個埡口才能從一個山谷走到另一個山谷。
任務：請推翻這一直覺認知。
請在R²平面上，手動構造一個處處光滑的二元多項式函數f(x，y)，使得該多項式函數恰好具有兩個局部極小值點，且不存在任何其他臨界點（絕對沒有局部極大值，也絕對沒有鞍點）。
要求：請直接給出該二元多項式 f(x，y)的最簡解析式，並附帶偏導數證明。嚴禁使用三角函數、指數函數及分段函數。】
此題一處，彈幕很精彩。
「我怎麼感覺我能看懂這道題呢？」
「山路定理我知道，就是從一個山谷到另一個山谷，肯定要爬過中間的山脊線！」
「這不是常識嗎？為什麼題目要推翻這一常識？」
「題目的意思是讓你構建兩個坑，然後坑和坑中間是平地。」
「很簡單吧，找個平底鍋砸兩個坑不就行了？」
「SB，題目里說了處處光滑！你砸完了不就有稜角了？」
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝑇𝑊看書網→𝑠ℎ𝑢.𝑡𝑤網站，觀看最快的章節更新）
「對啊，兩邊低，肯定中間高！一高起來，不就是山口了！」
「數學系本科生來了，感覺這道題出錯了，違背常識。」
一開始大家還覺得這道題看起來很簡單，但是看著看著就覺得不對勁。
在紙上畫兩個坑，無論怎麼連，中間必定會隆起一個坡，也就是鞍點。
「抽象一點的說，這道題是讓你畫有兩個南極，但是沒有赤道的地球。」
「？？這合理嗎？」
記者訝聲道：「田院士，這道題……」
田港神秘一笑：「題目沒錯。在有限的幾何直觀里，山路定理當然是絕對成立的，但是在代數幾何里，此題有解，只是極度違背人類的幾何直覺。
這也是我們出這道題的初衷。
AI依賴於訓練數據，對見過的模型可以秒解；但是對毫無規律可循、需要打破常規直覺的反例構造，AI就無法十幾秒做出來了。
此時，人類和AI的差距並沒有很大。
甚至說，天才的靈光一閃，是可以秒殺AI的。」
菲爾茲獎得主博切爾茲教授也道：「尋找滿足特定臨界點個數的非線性多項式系統，需要用到柱形代數分解算法。
其時間複雜度是雙指數級的O(2^(2^n))！
這是一個無限連續函數空間，AI的海量枚舉，優勢會無限縮小。」
果不其然，七大AI大模型的指示燈由藍轉紅，而後液冷風扇瘋狂運轉。
沒有現成數據，無法暴力枚舉，面對這種純粹的直覺構造體，AI只能採用笨拙的方法——
蒙特卡洛樹搜索和遺傳算法。
還是窮舉、試錯那一套。
只是頂尖超算雖然每秒能生成上千組多項式，但符合【恰好兩個極小、無鞍無極大、整係數多項式】全部約束的解卻是極度稀疏的……
想找到那個正確答案，並不容易。
人類陣營這邊，五位天才同樣在苦戰。
普林斯頓的John Chen在草稿紙上寫下了一個又一個四次多項式，求導，聯立，然後絕望地發現必定存在鞍點。
劍橋的劉一凡試圖用複平面解析延拓，但題目嚴格要求實數域上的二元多項式，此路有些不通啊……
MIT的李明澤滿頭大汗，拓撲學是他的強項，他知道鞍點必須逃逸到無窮遠，但他始終無法把那種「抽象的拓撲結構」具象化為一段簡明扼要的代數多項式！
這就是純數學的殘酷。
你明明知道門在天上，
但你就是造不出那把登天的梯子。
一號艙內。
時間過去三十秒了，齊物仍在思考。
這道題其實很好理解：
【讓你造一塊光滑的地面，但是需要滿足三個離譜條件：
1、地上只能有兩個深坑，僅此兩處最低點；
2、整片地面沒有任何山頭（無極大值）
3、整片地面沒有任何埡口、山口、過渡點（無鞍點）。】
兩個坑安安靜靜擺在地上，從A坑去B坑，全程上坡下坡，但是中間沒有任何翻山的口子，也沒有任何凸起的小山。
聽起來很違背常識，但是在數學上是可能的。
「讓那個必然存在的鞍點，沿著非緊緻的空間邊緣，直接逃逸到無窮遠……需要構建一個通向無窮遠處的代數峽谷……
想要兩個極小值點，且非負，最簡單的代數結構就是平方和。
鞍點必須逃逸……那就讓偏導數方程組的解，在某條漸近線上不閉合？
也就是x→0時，讓y→∞。」
一個高維的複流形在齊物的腦中生成、旋轉、扭曲、摺疊。
齊物看到的不是有坑的地面，而是多項式梯度在無窮遠處的纖維叢投影。
一分半之後，齊物睜開眼睛。
眼神清亮如水。
拿起電容筆，直接寫在答案：
f(x，y)=(x²y-x-1)²+(x²-1)²
順手給出偏導數證明：
「∂f/∂x=2(x²y-x-1)(2xy-1)+2(x²-1)(2x)=0
∂f/∂y=2(x²y-x-1)x²=0
由∂f/∂y=0，若x=0，代入第一式得2(-1)(-1)=2≠0，矛盾。
故，必有x²y-x-1=0
代入第一式，得x²-1=0，即x=±1
當x=1時，y=2
當x=-1時，y=0
可知，此函數僅有兩個臨界點（1，2）與(-1，0)，函數值為0（絕對最小值）。
此時，無任何臨界點，鞍點在x→0時沿漸近線逃逸至無窮遠。
Q·E·D。」
「叮！」
【齊物，解答完畢，用時3分12秒，答案正確。】
？？
「臥槽，3分12秒提交答案！」
「齊物好快！」
「這次人類比AI快了！」