第73章 數學直覺vs無窮算力
經過第一題的初步「試探」，
所有人都已經看出來了，如果和AI拼算力，人類陣營毫無勝算。
但有時候，人類的數學直覺，是可以和AI的無窮算力比拼的。
為了驗證這個結論，命題組給出的第二題依舊是AI擅長的海量枚舉類題目。
problem 2：圖論與組合
【題目：設G為一個具有N=100000個節點的4-正則循環圖CN(1，2)。
即每個節點i均與其距離為1和2的節點相連。
請計算出該巨型環狀分子結構包含多少棵完全不同的生成樹。
請給出嚴密的代數化簡過程，並將最終結果對998244353取模。】
題目一出，不僅是選手，就連評委席上沒參與出題的數學大牛也變了臉色。
「求圖的生成樹個數，在代數圖論中有一個放之四海皆準的解法——基爾霍夫矩陣樹定理。
只需要列出該圖的拉普拉斯矩陣，去掉一行一列後，再求主子式的行列式即可。
但是，這個網絡有十萬個節點……
這意味著，選手需要求解一個99999×99999階的超級矩陣的行列式！
初步估算，該矩陣里的元素數量高達上百億，人類別說手算了，就是光把它寫在紙上，都需要寫到下輩子吧！」
聽到菲爾茲獎得主博切爾茲教授的點評，彈幕里的吃瓜群眾紛紛表示已經力竭了。
「滴滴滴……」
博切爾茲的話音一落，企鵝「圓寶」、OpenAI的「GPT-4」、阿力的「九章」等七大AI大模型的指示燈，開始瘋狂爆閃！
機房的冷卻液系統發出低沉的嗡鳴。
對於AI來說，十萬階的帶狀稀疏矩陣算什麼？
根本不算事。
看書首選 TW 看書網，𝖘𝖍𝖚.𝖙𝖜隨時享
構建矩陣、高斯消元、LU分解！
恐怖的O(N³)計算量，在海量GPU算力集群的並行沖洗下，不過就是彈指一揮間的事情。
僅僅18秒！
「叮！」
「叮！」
「叮！」
七大AI的屏幕幾乎在同一時間亮起綠燈。
【最終答案：745281932（mod 998244353）】
僅僅十多秒，10000000000個元素的行列式計算完畢。
另一邊的人類陣營，六位天才額頭冒汗。
這道題根本不可能用基爾霍夫矩陣去硬算。
必須尋找捷徑——
水木大學的趙子賢，專精計算數學，他立刻放棄了完整的十萬節點，開始在草稿紙上瘋狂計算N=3，4，5，6時的小規模情況。
「一定存在某種線性遞推關係，只要找到前幾項，就能解出特徵方程的根。」
他的筆尖在紙上劃出殘影，試圖用有限的算力去尋找隱藏的斐波那契式遞推數列。
燕大的韋東和普林斯頓的johnchen則同時閉上了眼睛，在大腦中構建拓撲結構的對稱群。
一號艙里的齊物，則沉靜地看著屏幕上那個完美的環狀立體網絡。
不慌不慌……
齊物思維紛飛：「算力……行列式……數學可不是體力活。」
他拿起電容筆，開始書寫答案。
他已經就看穿了這個網絡的本質：結構具有完美的循環對稱性，這是一個標準的循環圖。
既然是循環圖，那它的拉普拉斯矩陣就是一個循環矩陣。
而在代數圖論中，循環矩陣的特徵值天然不就是單位根的傅立葉變換係數？
哪裡需要去求什麼勞什子行列式？
齊物落筆有神，寫下一行公式：
對於循環圖CN(1，2)，其拉普拉斯矩陣的非零特徵值為：
λk=4-2cos(2πk/N)-2cos(4πk/N)，k=1，2，……N-1。
觀賽的院士們心中一愣：「他跳過了矩陣構建？這是要直接用譜圖理論寫特徵值解析式？」
齊物繼續解答：
生成樹的個數τ(G)等於所有非零特徵值的乘積除以N。
面對這100000個包含三角函數的連續特徵值的連乘，一般人依然會陷入死胡同。
但齊物的大腦卻在這一刻展現出了強大的代數降維能力。
「令xk=cos(2πk/N)
利用二倍角公式：cos(2θ)=2cos²θ-1
將特徵值因式分解，可得
λk=4-2xk-2(2xk²-1)
=6-2xk-4x_k²
=-4(xk-1)(xk+3/2)」
「beautiful！」
田港院士和博切爾茲教授對視一眼，紛紛讚嘆，「把超越函數的連乘，轉換成代數多項式的連乘？」
齊物的解答仍在繼續：
「∏(k=1→N-1)[z-cos(2πk/N)]=[TN(z)-1]/[2^(N-1)・(z-1)]」
將z=-3/2代入，經過簡單的正負號合併，原本需要計算一百億次的十萬階矩陣行列式，在齊物的筆下，瞬間坍縮成了一個乾淨優美的純代數形式：
τ(G)=(2/5)・[TN(3/2)-1]
「嘶——」
「切比雪夫多項式根恆等式!」
「什麼不等式？」
「把十萬個節點的圖論問題，轉變成了一個求第一類切比雪夫不等式T100000(3/2)的問題。」
「可是這看起來還是很複雜啊，能手算出來嗎？」
「感覺還是很難……」
齊物看了一眼倒計時，還剩10分30秒。
足夠了。
「切比雪夫多項式滿足線性遞推關係……」
他喃喃自語，在平板上列出一個2×2的狀態轉移矩陣，隨後直接利用算法競賽里常見的「矩陣快速冪」。
對於十萬次方，快速冪只需要log₂(100000)≈17次矩陣乘法即可！
也就是17次二階矩陣的乘法和取模。
齊物筆走龍蛇，在草稿紙上飛快計算加減乘除和模998244353的運算。
11分20秒。
12分10秒。
12分50秒。
齊物在答題器上輸入最後九個數字，按下回車。
「叮！」
【齊物作答完畢，用時13分01秒。】
【最終答案：745281932。】
和AI的一模一樣。
「代數幾何同構映射！」
博切爾茲訝聲道，「這個齊物的數學直覺有點無敵啊，我看資料上寫他只是一個高中生，amazing！」
一旁的田港院士點頭道：「思路很妙，齊物其實是把十萬個圖論中的離散拓撲節點，強行拉升到了一個代數曲線的模空間上。」
張益唐教授笑道：「相比於齊物的方法，AI的確是有些醜陋了。」
「不知道這個齊物鍾情於哪個大學？」
「如果不是親眼所見，我絕不相信一個17歲的高中生能有這種數學直覺。」
「AI：我算了一百億次。
齊物：我畫了個代數曲線當衝動就直接鑽過去了，哈哈。」
隨著齊物成功破局，其他幾何人類天才同樣展現出強大的實力。
第16分40秒，普林斯頓的John Chen利用代數數論中的分圓域性質，殊途同歸，成功提交答案。
第17分15秒，燕大韋東利用生成函數與形式冪級數展開，成功解出。
隨後，劉一凡、李明澤也趕在20分鐘的紅線前，滿頭大汗地敲下了正確答案。
只有水木大學的趙子賢還在與數據搏鬥。
他找對了方向，成功推導出了那個線性遞推方程，但在最後利用特徵根公式求解時，由於要在模998244353意義下進行二次剩餘（即求平方根）的計算，他在手算Tonelli-Shanks算法時，一個微小的取模借位出現了致命的失誤。
「滴——」
倒計時歸零。
趙子賢的手僵在鍵盤上，屏幕上他最後敲入的答案「745281910」，距離正確答案僅僅謬之毫釐。
【趙子賢，計算錯誤，本輪淘汰。】
人類陣營，僅剩五人。
所有人都已經看出來了，如果和AI拼算力，人類陣營毫無勝算。
但有時候，人類的數學直覺，是可以和AI的無窮算力比拼的。
為了驗證這個結論，命題組給出的第二題依舊是AI擅長的海量枚舉類題目。
problem 2：圖論與組合
【題目：設G為一個具有N=100000個節點的4-正則循環圖CN(1，2)。
即每個節點i均與其距離為1和2的節點相連。
請計算出該巨型環狀分子結構包含多少棵完全不同的生成樹。
請給出嚴密的代數化簡過程，並將最終結果對998244353取模。】
題目一出，不僅是選手，就連評委席上沒參與出題的數學大牛也變了臉色。
「求圖的生成樹個數，在代數圖論中有一個放之四海皆準的解法——基爾霍夫矩陣樹定理。
只需要列出該圖的拉普拉斯矩陣，去掉一行一列後，再求主子式的行列式即可。
但是，這個網絡有十萬個節點……
這意味著，選手需要求解一個99999×99999階的超級矩陣的行列式！
初步估算，該矩陣里的元素數量高達上百億，人類別說手算了，就是光把它寫在紙上，都需要寫到下輩子吧！」
聽到菲爾茲獎得主博切爾茲教授的點評，彈幕里的吃瓜群眾紛紛表示已經力竭了。
「滴滴滴……」
博切爾茲的話音一落，企鵝「圓寶」、OpenAI的「GPT-4」、阿力的「九章」等七大AI大模型的指示燈，開始瘋狂爆閃！
機房的冷卻液系統發出低沉的嗡鳴。
對於AI來說，十萬階的帶狀稀疏矩陣算什麼？
根本不算事。
看書首選 TW 看書網，𝖘𝖍𝖚.𝖙𝖜隨時享
構建矩陣、高斯消元、LU分解！
恐怖的O(N³)計算量，在海量GPU算力集群的並行沖洗下，不過就是彈指一揮間的事情。
僅僅18秒！
「叮！」
「叮！」
「叮！」
七大AI的屏幕幾乎在同一時間亮起綠燈。
【最終答案：745281932（mod 998244353）】
僅僅十多秒，10000000000個元素的行列式計算完畢。
另一邊的人類陣營，六位天才額頭冒汗。
這道題根本不可能用基爾霍夫矩陣去硬算。
必須尋找捷徑——
水木大學的趙子賢，專精計算數學，他立刻放棄了完整的十萬節點，開始在草稿紙上瘋狂計算N=3，4，5，6時的小規模情況。
「一定存在某種線性遞推關係，只要找到前幾項，就能解出特徵方程的根。」
他的筆尖在紙上劃出殘影，試圖用有限的算力去尋找隱藏的斐波那契式遞推數列。
燕大的韋東和普林斯頓的johnchen則同時閉上了眼睛，在大腦中構建拓撲結構的對稱群。
一號艙里的齊物，則沉靜地看著屏幕上那個完美的環狀立體網絡。
不慌不慌……
齊物思維紛飛：「算力……行列式……數學可不是體力活。」
他拿起電容筆，開始書寫答案。
他已經就看穿了這個網絡的本質：結構具有完美的循環對稱性，這是一個標準的循環圖。
既然是循環圖，那它的拉普拉斯矩陣就是一個循環矩陣。
而在代數圖論中，循環矩陣的特徵值天然不就是單位根的傅立葉變換係數？
哪裡需要去求什麼勞什子行列式？
齊物落筆有神，寫下一行公式：
對於循環圖CN(1，2)，其拉普拉斯矩陣的非零特徵值為：
λk=4-2cos(2πk/N)-2cos(4πk/N)，k=1，2，……N-1。
觀賽的院士們心中一愣：「他跳過了矩陣構建？這是要直接用譜圖理論寫特徵值解析式？」
齊物繼續解答：
生成樹的個數τ(G)等於所有非零特徵值的乘積除以N。
面對這100000個包含三角函數的連續特徵值的連乘，一般人依然會陷入死胡同。
但齊物的大腦卻在這一刻展現出了強大的代數降維能力。
「令xk=cos(2πk/N)
利用二倍角公式：cos(2θ)=2cos²θ-1
將特徵值因式分解，可得
λk=4-2xk-2(2xk²-1)
=6-2xk-4x_k²
=-4(xk-1)(xk+3/2)」
「beautiful！」
田港院士和博切爾茲教授對視一眼，紛紛讚嘆，「把超越函數的連乘，轉換成代數多項式的連乘？」
齊物的解答仍在繼續：
「∏(k=1→N-1)[z-cos(2πk/N)]=[TN(z)-1]/[2^(N-1)・(z-1)]」
將z=-3/2代入，經過簡單的正負號合併，原本需要計算一百億次的十萬階矩陣行列式，在齊物的筆下，瞬間坍縮成了一個乾淨優美的純代數形式：
τ(G)=(2/5)・[TN(3/2)-1]
「嘶——」
「切比雪夫多項式根恆等式!」
「什麼不等式？」
「把十萬個節點的圖論問題，轉變成了一個求第一類切比雪夫不等式T100000(3/2)的問題。」
「可是這看起來還是很複雜啊，能手算出來嗎？」
「感覺還是很難……」
齊物看了一眼倒計時，還剩10分30秒。
足夠了。
「切比雪夫多項式滿足線性遞推關係……」
他喃喃自語，在平板上列出一個2×2的狀態轉移矩陣，隨後直接利用算法競賽里常見的「矩陣快速冪」。
對於十萬次方，快速冪只需要log₂(100000)≈17次矩陣乘法即可！
也就是17次二階矩陣的乘法和取模。
齊物筆走龍蛇，在草稿紙上飛快計算加減乘除和模998244353的運算。
11分20秒。
12分10秒。
12分50秒。
齊物在答題器上輸入最後九個數字，按下回車。
「叮！」
【齊物作答完畢，用時13分01秒。】
【最終答案：745281932。】
和AI的一模一樣。
「代數幾何同構映射！」
博切爾茲訝聲道，「這個齊物的數學直覺有點無敵啊，我看資料上寫他只是一個高中生，amazing！」
一旁的田港院士點頭道：「思路很妙，齊物其實是把十萬個圖論中的離散拓撲節點，強行拉升到了一個代數曲線的模空間上。」
張益唐教授笑道：「相比於齊物的方法，AI的確是有些醜陋了。」
「不知道這個齊物鍾情於哪個大學？」
「如果不是親眼所見，我絕不相信一個17歲的高中生能有這種數學直覺。」
「AI：我算了一百億次。
齊物：我畫了個代數曲線當衝動就直接鑽過去了，哈哈。」
隨著齊物成功破局，其他幾何人類天才同樣展現出強大的實力。
第16分40秒，普林斯頓的John Chen利用代數數論中的分圓域性質，殊途同歸，成功提交答案。
第17分15秒，燕大韋東利用生成函數與形式冪級數展開，成功解出。
隨後，劉一凡、李明澤也趕在20分鐘的紅線前，滿頭大汗地敲下了正確答案。
只有水木大學的趙子賢還在與數據搏鬥。
他找對了方向，成功推導出了那個線性遞推方程，但在最後利用特徵根公式求解時，由於要在模998244353意義下進行二次剩餘（即求平方根）的計算，他在手算Tonelli-Shanks算法時，一個微小的取模借位出現了致命的失誤。
「滴——」
倒計時歸零。
趙子賢的手僵在鍵盤上，屏幕上他最後敲入的答案「745281910」，距離正確答案僅僅謬之毫釐。
【趙子賢，計算錯誤，本輪淘汰。】
人類陣營，僅剩五人。