第201章 集訓（下）
第二〇一章集訓（下）
7:40，䣄熤關閉手機放進封存袋，找到自己的考位。
在核驗檢查營員證後，所有人拿到了草稿紙，再次聽監考老師宣讀考場規則。
考前5分鐘，開始分發試卷。
共3道大題，每題50分，時長4.5小時，完全模擬CMO賽制。
8:00，所有人正式動筆。
一、設 S={1，2，3，…，98}，求最小自然數 n，使得S的任何一個n元子集中都可以選出10個數，無論怎樣將這10個數均分成兩組，總有一組中存在一個數與另外四個數都互質，而另一組中總有一個數與另外四個數都不互質。
典型的組合數論交叉題，核心考察「集合構造和數論性質」的綜合運用能力，具體而言，互質的數論定義、集合子集的反例構造、抽屜原理與極端原理、奇數的質因子分布估計是核心考點。
題目難度中等偏上。
不過對這256位考生而言，識別題目並不難，問題在於能敏銳捕捉「偶數集無法滿足互質條件」的特性來構造反例，還能基於對「與奇數不互質的偶數上限f(x)≤16」的精準估計確定分類邊界。
最重要的是要同時滿足「兩組均符合條件」的全稱命題，邏輯閉環要求極其高。
璩靜秋越來越痴迷這種一眼看穿的快樂，也發現了糾結選擇哪種方法的煩惱，第一種是奇偶分類與質因子控制互質數數量相結合，第二種是特殊集合分類疊加抽屜原理。
不過多寫解題方法又不能加分，與其多證，不如好好做對每一道題，璩靜秋喜滋滋地寫下「證明：」。
「取S中49個偶數的集合E={2x∣x∈N，且1⩽x⩽49}，則 E中任取 k(k⩾10)個數，從中都不能選出10個滿足要求的數。故n⩾50。
對於S中任一奇數x，S中與x不互質的偶數個數f(x)⩽[49/3]=16個。
設T為S的任一 50元的子集，T中有偶數α個，奇數50−α=β個。由於∣E∣=49，故T中至少有一奇數S中最小質因子為k(k為質數)的數所成集合記為Rₖ，則
……
故 T中必有一質數 a⩾53，此時 a與 T中其餘的數都互質，而 S中的奇數不在T中的有50−β⩽7個，取 T中所有6k−3型的奇數，至少有16−7=9個，它們都不互質，問題可證。
綜上可知，命題成立。」
第二道是幾何題，如圖，設△ABC，滿足∠A=90∘，∠B<∠C，過A作△ABC的外接圓O的切線，交直線BC於D，設A關於直線BC的對稱點為E，由A到BE作垂線的垂足為X，AX的中點為Y，BY與圓O交於Z點，證明：直線BD為△ADZ外接圓的切線。
這道題設計非常精巧，通過「對稱點、中點、交點」的組合構造，串聯圓、三角形、相似等核心幾何模型，全面考察幾何直觀與邏輯推理能力。
但挑戰之處在於「共圓判定」「比例轉化」「三角恆等式」的靈活運用，對代數運算與幾何構圖的要求極高。
璩靜秋一眼就明白只要證明∠BDZ=∠DAZ，或者說弦切角等於所夾弧圓周角就行了。
𝑇𝑊看書網→𝑠ℎ𝑢.𝑡𝑤
證明辦法依然有兩種，一種是依賴幾何直觀，構造輔助點F（AE∩BX），通過「共圓→角相等→四點共圓」鏈式推導，發現A、Z、F、Y共圓與D、E、F、Z共圓，利用∠ZAD=∠FDZ=∠DAZ。
第二種是綜合運用Menelaus定理、角平分線定理、Ptolemy定理、相似三角形等工具，依賴代數轉化，過程嚴謹但計算量較大。
璩靜秋本能地排斥計算量大的方法，太耽誤時間，她還要把時間放在最後一題上。
而最後一道題，與其說是數學題，不如說是語文題。
12:35，璩靜秋憂心忡忡地離開考場，與同樣心不在焉的同伴們一起去學校食堂。
「別想考試了。」蕭映雪不知道如何疏解大家的鬱悶，只知道收拾心情是在明天戰鬥獲勝的必要條件，「先吃飯，要復盤也要等午休過後。」
䣄熤大概知道大家折在了什麼地方，但現在不是討論的時候，容易影響大家的胃口。
今天的菜單有紅燒大排、四喜丸子、紅燒雞塊、糖醋裡脊、冬瓜海帶湯、青菜豆腐、番茄炒蛋、酸辣白菜、醋溜土豆絲，稱得上豐富。
然而，省一名單中的營員，甚至省二中的頭部營員，情緒都不太對。
下午兩點，試卷初評。
昇都師大數學系年輕講師、博士生流水線式地批改第一、第二題，而最後一題，則是由命題組成員親自批改。
「老霍，你那邊現在有滿分的嗎？」
昇都師大數學系教授、博導駱庭淵眼皮子都沒抬，略顯遺憾地嘆了一口氣，「20多的4個，35有一個。你呢？」
倒是華夏數學會普及工委副主任項斗南運氣好些，改到了兩個40多分的，「還是耐心等等吧！隔壁一、二題都沒改完。」
基於公平，256考生全部打亂，又是三個房間流水線交互改卷，即使想根據省一名單精準鎖定也做不到。
「99個空間站構成圖G，頂點集V={1，2，…，99}，邊集E含99條雙向主幹道（無向邊），其餘邊為單向通道（有向邊）。」
同一時間，䣄熤房間裡擠滿了人，「明確互通四站組的定義是四頂點子集，其中任意兩點可達，構成強連通四頂點子圖。G的結構圖自然而然就出來了，最大化互通四站組數目就有了計算路徑，證明其為最大值更是水到渠成的事情。」
「你們的數學工具沒錯，唯一的問題是明確「互通四站組」對應「強連通四頂點子圖」後，需要精準定義不互通組S（單點出度3的四站組）和T（其他不互通組），這決定了你們的建模方向對錯。」
這就是最後一道題的挑戰之處，不互通組T的定義很隱蔽，必須排除S外的其他不互通情況，否則極易忽略其對總數的影響。
再者，構造方案中「單向通道按順時針奇數距離設定」的相容性證明又需細緻驗證奇偶性。
若不能同時掌握理論分析與實踐構造，拿到一半的分都得感謝命運的饋贈。
「䣄熤，你覺得我這題能有幾分？」璩靜秋遞上自己寫的答案。
7:40，䣄熤關閉手機放進封存袋，找到自己的考位。
在核驗檢查營員證後，所有人拿到了草稿紙，再次聽監考老師宣讀考場規則。
考前5分鐘，開始分發試卷。
共3道大題，每題50分，時長4.5小時，完全模擬CMO賽制。
8:00，所有人正式動筆。
一、設 S={1，2，3，…，98}，求最小自然數 n，使得S的任何一個n元子集中都可以選出10個數，無論怎樣將這10個數均分成兩組，總有一組中存在一個數與另外四個數都互質，而另一組中總有一個數與另外四個數都不互質。
典型的組合數論交叉題，核心考察「集合構造和數論性質」的綜合運用能力，具體而言，互質的數論定義、集合子集的反例構造、抽屜原理與極端原理、奇數的質因子分布估計是核心考點。
題目難度中等偏上。
不過對這256位考生而言，識別題目並不難，問題在於能敏銳捕捉「偶數集無法滿足互質條件」的特性來構造反例，還能基於對「與奇數不互質的偶數上限f(x)≤16」的精準估計確定分類邊界。
最重要的是要同時滿足「兩組均符合條件」的全稱命題，邏輯閉環要求極其高。
璩靜秋越來越痴迷這種一眼看穿的快樂，也發現了糾結選擇哪種方法的煩惱，第一種是奇偶分類與質因子控制互質數數量相結合，第二種是特殊集合分類疊加抽屜原理。
不過多寫解題方法又不能加分，與其多證，不如好好做對每一道題，璩靜秋喜滋滋地寫下「證明：」。
「取S中49個偶數的集合E={2x∣x∈N，且1⩽x⩽49}，則 E中任取 k(k⩾10)個數，從中都不能選出10個滿足要求的數。故n⩾50。
對於S中任一奇數x，S中與x不互質的偶數個數f(x)⩽[49/3]=16個。
設T為S的任一 50元的子集，T中有偶數α個，奇數50−α=β個。由於∣E∣=49，故T中至少有一奇數S中最小質因子為k(k為質數)的數所成集合記為Rₖ，則
……
故 T中必有一質數 a⩾53，此時 a與 T中其餘的數都互質，而 S中的奇數不在T中的有50−β⩽7個，取 T中所有6k−3型的奇數，至少有16−7=9個，它們都不互質，問題可證。
綜上可知，命題成立。」
第二道是幾何題，如圖，設△ABC，滿足∠A=90∘，∠B<∠C，過A作△ABC的外接圓O的切線，交直線BC於D，設A關於直線BC的對稱點為E，由A到BE作垂線的垂足為X，AX的中點為Y，BY與圓O交於Z點，證明：直線BD為△ADZ外接圓的切線。
這道題設計非常精巧，通過「對稱點、中點、交點」的組合構造，串聯圓、三角形、相似等核心幾何模型，全面考察幾何直觀與邏輯推理能力。
但挑戰之處在於「共圓判定」「比例轉化」「三角恆等式」的靈活運用，對代數運算與幾何構圖的要求極高。
璩靜秋一眼就明白只要證明∠BDZ=∠DAZ，或者說弦切角等於所夾弧圓周角就行了。
𝑇𝑊看書網→𝑠ℎ𝑢.𝑡𝑤
證明辦法依然有兩種，一種是依賴幾何直觀，構造輔助點F（AE∩BX），通過「共圓→角相等→四點共圓」鏈式推導，發現A、Z、F、Y共圓與D、E、F、Z共圓，利用∠ZAD=∠FDZ=∠DAZ。
第二種是綜合運用Menelaus定理、角平分線定理、Ptolemy定理、相似三角形等工具，依賴代數轉化，過程嚴謹但計算量較大。
璩靜秋本能地排斥計算量大的方法，太耽誤時間，她還要把時間放在最後一題上。
而最後一道題，與其說是數學題，不如說是語文題。
12:35，璩靜秋憂心忡忡地離開考場，與同樣心不在焉的同伴們一起去學校食堂。
「別想考試了。」蕭映雪不知道如何疏解大家的鬱悶，只知道收拾心情是在明天戰鬥獲勝的必要條件，「先吃飯，要復盤也要等午休過後。」
䣄熤大概知道大家折在了什麼地方，但現在不是討論的時候，容易影響大家的胃口。
今天的菜單有紅燒大排、四喜丸子、紅燒雞塊、糖醋裡脊、冬瓜海帶湯、青菜豆腐、番茄炒蛋、酸辣白菜、醋溜土豆絲，稱得上豐富。
然而，省一名單中的營員，甚至省二中的頭部營員，情緒都不太對。
下午兩點，試卷初評。
昇都師大數學系年輕講師、博士生流水線式地批改第一、第二題，而最後一題，則是由命題組成員親自批改。
「老霍，你那邊現在有滿分的嗎？」
昇都師大數學系教授、博導駱庭淵眼皮子都沒抬，略顯遺憾地嘆了一口氣，「20多的4個，35有一個。你呢？」
倒是華夏數學會普及工委副主任項斗南運氣好些，改到了兩個40多分的，「還是耐心等等吧！隔壁一、二題都沒改完。」
基於公平，256考生全部打亂，又是三個房間流水線交互改卷，即使想根據省一名單精準鎖定也做不到。
「99個空間站構成圖G，頂點集V={1，2，…，99}，邊集E含99條雙向主幹道（無向邊），其餘邊為單向通道（有向邊）。」
同一時間，䣄熤房間裡擠滿了人，「明確互通四站組的定義是四頂點子集，其中任意兩點可達，構成強連通四頂點子圖。G的結構圖自然而然就出來了，最大化互通四站組數目就有了計算路徑，證明其為最大值更是水到渠成的事情。」
「你們的數學工具沒錯，唯一的問題是明確「互通四站組」對應「強連通四頂點子圖」後，需要精準定義不互通組S（單點出度3的四站組）和T（其他不互通組），這決定了你們的建模方向對錯。」
這就是最後一道題的挑戰之處，不互通組T的定義很隱蔽，必須排除S外的其他不互通情況，否則極易忽略其對總數的影響。
再者，構造方案中「單向通道按順時針奇數距離設定」的相容性證明又需細緻驗證奇偶性。
若不能同時掌握理論分析與實踐構造，拿到一半的分都得感謝命運的饋贈。
「䣄熤，你覺得我這題能有幾分？」璩靜秋遞上自己寫的答案。