第194章 熤神
第一九四章熤神
題還是和另外一個時空自己做過的真題沒有區別。
䣄熤承認，自己確實「作弊了」！
比別人省去了太多的時間！
對於整數n≥4，求出最小的整數f(n)，使得對於任何正整數m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一個f(n)元子集中，均至少有3個兩兩互素的元素。
翻譯成白話就是：最小f(n)保證子集含3個兩兩互素的數。
考查的是互素性質、容斥原理、構造反例與存在性證明，是組合數論的經典問題。
這道題的難點不是計算，而是思維門檻。
在概念轉換上，要把「兩兩互素」轉化為「不被2或3整除」；構造反例上要想到「最大不含3個兩兩互素的子集」是「所有2的倍數+3的倍數」，這需要數論直覺，也就是要知道2和3是最小的素數，覆蓋最多的數。
最重要是證明存在性，用容斥算「2或3的倍數的個數」=[n/2]+[n/3]-[n/6]，再證明「超過這個數必含非2/3倍數的數」。
沒有嚴謹的邏輯推導，這道題只能交白卷。
因為這就是為「淘汰90%考生」設計的，絕大多數人看到這道題時都是一臉懵——路易十四摸不著頭腦。
既然明白了思路和邏輯，䣄熤直接下筆。
當m為奇數時，m、m+1、m+2互質，當m為偶數時，m+1、m+2、m+3互質。即M的子集M中存在3個兩兩互質的元素，故f(n)存在且f(n)≤n①
取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，則T為M(2，n)={2，3，…，n+1}的一個子集，且其中任 3個數無不能兩兩互質．故 f(n)≥card(T)+1。但card(T)=[(n+1)/2]+[(n+1)/3]－[(n+1)/6]。故f(n)≥[(n+1)/2]+[(n+1)/3]－[(n+1)/6]②
由①與②得f(4)=4，f(5)=5，5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9。
現計算f(6)，取 M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5個數，當這5個數中有3個奇數時，這3個奇數互質；當這5個數中有3個偶數k，k+2，k+4(k≡0(mod2))時，其中至多有1個被5整除，必有1個被3整除，故至少有1個不能被3與5整除，此數與另兩個奇數兩兩互質。故f(6)=5。
……
12:00鈴響，所有人被要求停筆。
12:10，考場教學樓下，高彥楓、莊曉初、鄭澤睿、劉俠飛以及高三六班的方俊傑，還有魏瓊、董文欣、奚文君、璩靜秋一起，迎神一般地對從三樓下來的䣄熤叉手禮、屈膝禮，「恭迎熤神！」
「這麼多人看著，」䣄熤哭笑不得，「你們要不要這麼中二！」
高彥楓、莊曉初突然右手抓自己左手腕、左手抓對方右手腕，交叉搭出一個「井」字形的手掌座位，單膝蓋跪下，「請熤神上轎！」
「阿熤！你們這是？」
「姊姊？」回頭一看，原來是楊璐，「哦，我同學，他們鬧著玩的。」
「請熤神上轎！」高彥楓再次喊請。
「要不算了吧，我會社死的！」
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「請熤神上轎！」高彥楓再請。
䣄熤知道不能再拒絕了，高中男生最在乎面子，尤其還是這麼多人看著的情況下，再拒絕的話很容易引起反效果。
「姊姊你們一會兒別著急走。」跨上人轎後，䣄熤回頭和楊璐、安文潔叮囑一聲，然後雙手輕輕搭在高彥楓和莊曉初的肩上，「有勞學長！」
然後，校園中出現了神奇的一幕，前面鄭澤睿、劉俠飛、方俊傑三人開道，後面魏瓊、董文欣、奚文君、璩靜秋緊隨，還跟著楊璐、安文潔、毛楚新、肖博允、白牧、王辰羽等一群人。
「學長，可以了可以了。」快到校門口，䣄熤趕緊喊著要下轎，只是高彥楓、莊曉初不為所動，將䣄熤架到校門外才慢慢蹲下放開手。
蕭映雪一臉茫然，不過男孩子都愛鬧，也沒多想，「人到齊了沒有？」數了數，「我們去吃飯。」
「老師，我要和朋友們吃個飯，就不和你們一起了。」䣄熤指了指身後跟著的楊璐。
「你朋友？」蕭映雪看著旁邊站著的一群人，乾溪中學的帶隊老師她認識，餘源一中的帶隊老師，她也認識。所以，這個小傢伙有一群這兩個學校的競賽朋友？
「五月份英語競賽的時候認識的。難得一見，我們就約個飯，不會耽誤回去的。如果沒趕上，我自己回去就行。」
不讓人省心的傢伙！一個人回去肯定是不行的，萬一出事了，擔不起責任，而且還是學校的寶貝疙瘩。
蕭映雪可不像自己的丈夫，只能有條件地放行，「你可別！最晚一點鐘，我們就得一個不少地回去！」
「再多勻半小時唄！不然飯吃到一半我們就得走了！」說完，䣄熤又對著餘源一中和乾溪中學的帶隊老師，以及參賽的學生不斷作揖，「請各位在市區多玩一會兒吧！」
難得出來，考生們也想多放鬆放鬆，而且䣄熤面子太大，搞怪得很誠懇，大家也都順水推舟同意了。
背著小包，䣄熤與兩校的小夥伴們，一群人浩浩蕩蕩地往東再往南拐了一個彎，走進陸氏餐廳。
「老闆，十二位，要一個包間。」
當落座後，䣄熤擺起譜來了，「各位，你們要麼是我姊姊的同學，要麼是我發小的同學，如今再次聚首，這個東道怎麼說都該是我做，你們肯定沒意見，對吧？」
說完也不待大家回應，直接問起身旁的楊璐，「姊姊你肯定不反對的吧？」
「那我就不和你爭了，下次去餘源，我們請你。」
習俗也好，惡俗也罷，䣄熤迅速點了四個能快速上桌的硬菜，讓服務員先做，又要了兩大瓶果汁和兩大瓶雪碧，然後傳遞菜單，「各位，想吃的就點，別猶豫，不然飯沒吃完就得挨老師的催了。」
趁著點菜的功夫，楊璐終於問出了疑惑，或者說好奇更合適，「你們同學怎麼叫你熤神？總不該是你告訴他們考試秘訣了？」
䣄熤對著楊璐眨眨眼，「姊姊，今天不說競賽，就吃飯。考完了就得扔，不然影響心情。」
這話題不能聊，看高彥楓他們這架勢，想來考得不錯。競賽這東西，不怕自己做得爛，就怕別人考得比自己好。
「暑假的時候我有見到堂姑和堂姑丈，怎麼沒見你？堂姑說她們也不知道你在哪！」
「就到處走了走。下次去外婆家我找你去。」
「呵呵，你的話最是沒準。」
題還是和另外一個時空自己做過的真題沒有區別。
䣄熤承認，自己確實「作弊了」！
比別人省去了太多的時間！
對於整數n≥4，求出最小的整數f(n)，使得對於任何正整數m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一個f(n)元子集中，均至少有3個兩兩互素的元素。
翻譯成白話就是：最小f(n)保證子集含3個兩兩互素的數。
考查的是互素性質、容斥原理、構造反例與存在性證明，是組合數論的經典問題。
這道題的難點不是計算，而是思維門檻。
在概念轉換上，要把「兩兩互素」轉化為「不被2或3整除」；構造反例上要想到「最大不含3個兩兩互素的子集」是「所有2的倍數+3的倍數」，這需要數論直覺，也就是要知道2和3是最小的素數，覆蓋最多的數。
最重要是證明存在性，用容斥算「2或3的倍數的個數」=[n/2]+[n/3]-[n/6]，再證明「超過這個數必含非2/3倍數的數」。
沒有嚴謹的邏輯推導，這道題只能交白卷。
因為這就是為「淘汰90%考生」設計的，絕大多數人看到這道題時都是一臉懵——路易十四摸不著頭腦。
既然明白了思路和邏輯，䣄熤直接下筆。
當m為奇數時，m、m+1、m+2互質，當m為偶數時，m+1、m+2、m+3互質。即M的子集M中存在3個兩兩互質的元素，故f(n)存在且f(n)≤n①
取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，則T為M(2，n)={2，3，…，n+1}的一個子集，且其中任 3個數無不能兩兩互質．故 f(n)≥card(T)+1。但card(T)=[(n+1)/2]+[(n+1)/3]－[(n+1)/6]。故f(n)≥[(n+1)/2]+[(n+1)/3]－[(n+1)/6]②
由①與②得f(4)=4，f(5)=5，5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9。
現計算f(6)，取 M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5個數，當這5個數中有3個奇數時，這3個奇數互質；當這5個數中有3個偶數k，k+2，k+4(k≡0(mod2))時，其中至多有1個被5整除，必有1個被3整除，故至少有1個不能被3與5整除，此數與另兩個奇數兩兩互質。故f(6)=5。
……
12:00鈴響，所有人被要求停筆。
12:10，考場教學樓下，高彥楓、莊曉初、鄭澤睿、劉俠飛以及高三六班的方俊傑，還有魏瓊、董文欣、奚文君、璩靜秋一起，迎神一般地對從三樓下來的䣄熤叉手禮、屈膝禮，「恭迎熤神！」
「這麼多人看著，」䣄熤哭笑不得，「你們要不要這麼中二！」
高彥楓、莊曉初突然右手抓自己左手腕、左手抓對方右手腕，交叉搭出一個「井」字形的手掌座位，單膝蓋跪下，「請熤神上轎！」
「阿熤！你們這是？」
「姊姊？」回頭一看，原來是楊璐，「哦，我同學，他們鬧著玩的。」
「請熤神上轎！」高彥楓再次喊請。
「要不算了吧，我會社死的！」
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「請熤神上轎！」高彥楓再請。
䣄熤知道不能再拒絕了，高中男生最在乎面子，尤其還是這麼多人看著的情況下，再拒絕的話很容易引起反效果。
「姊姊你們一會兒別著急走。」跨上人轎後，䣄熤回頭和楊璐、安文潔叮囑一聲，然後雙手輕輕搭在高彥楓和莊曉初的肩上，「有勞學長！」
然後，校園中出現了神奇的一幕，前面鄭澤睿、劉俠飛、方俊傑三人開道，後面魏瓊、董文欣、奚文君、璩靜秋緊隨，還跟著楊璐、安文潔、毛楚新、肖博允、白牧、王辰羽等一群人。
「學長，可以了可以了。」快到校門口，䣄熤趕緊喊著要下轎，只是高彥楓、莊曉初不為所動，將䣄熤架到校門外才慢慢蹲下放開手。
蕭映雪一臉茫然，不過男孩子都愛鬧，也沒多想，「人到齊了沒有？」數了數，「我們去吃飯。」
「老師，我要和朋友們吃個飯，就不和你們一起了。」䣄熤指了指身後跟著的楊璐。
「你朋友？」蕭映雪看著旁邊站著的一群人，乾溪中學的帶隊老師她認識，餘源一中的帶隊老師，她也認識。所以，這個小傢伙有一群這兩個學校的競賽朋友？
「五月份英語競賽的時候認識的。難得一見，我們就約個飯，不會耽誤回去的。如果沒趕上，我自己回去就行。」
不讓人省心的傢伙！一個人回去肯定是不行的，萬一出事了，擔不起責任，而且還是學校的寶貝疙瘩。
蕭映雪可不像自己的丈夫，只能有條件地放行，「你可別！最晚一點鐘，我們就得一個不少地回去！」
「再多勻半小時唄！不然飯吃到一半我們就得走了！」說完，䣄熤又對著餘源一中和乾溪中學的帶隊老師，以及參賽的學生不斷作揖，「請各位在市區多玩一會兒吧！」
難得出來，考生們也想多放鬆放鬆，而且䣄熤面子太大，搞怪得很誠懇，大家也都順水推舟同意了。
背著小包，䣄熤與兩校的小夥伴們，一群人浩浩蕩蕩地往東再往南拐了一個彎，走進陸氏餐廳。
「老闆，十二位，要一個包間。」
當落座後，䣄熤擺起譜來了，「各位，你們要麼是我姊姊的同學，要麼是我發小的同學，如今再次聚首，這個東道怎麼說都該是我做，你們肯定沒意見，對吧？」
說完也不待大家回應，直接問起身旁的楊璐，「姊姊你肯定不反對的吧？」
「那我就不和你爭了，下次去餘源，我們請你。」
習俗也好，惡俗也罷，䣄熤迅速點了四個能快速上桌的硬菜，讓服務員先做，又要了兩大瓶果汁和兩大瓶雪碧，然後傳遞菜單，「各位，想吃的就點，別猶豫，不然飯沒吃完就得挨老師的催了。」
趁著點菜的功夫，楊璐終於問出了疑惑，或者說好奇更合適，「你們同學怎麼叫你熤神？總不該是你告訴他們考試秘訣了？」
䣄熤對著楊璐眨眨眼，「姊姊，今天不說競賽，就吃飯。考完了就得扔，不然影響心情。」
這話題不能聊，看高彥楓他們這架勢，想來考得不錯。競賽這東西，不怕自己做得爛，就怕別人考得比自己好。
「暑假的時候我有見到堂姑和堂姑丈，怎麼沒見你？堂姑說她們也不知道你在哪！」
「就到處走了走。下次去外婆家我找你去。」
「呵呵，你的話最是沒準。」