第522章 我們的形象啊
他頓了頓，轉過身看著眾人。
「所以關鍵不是耦合強度夠不夠，也不是權重分配對不對，而是商空間構造在處理邊界的時候，有沒有把那些被平移對稱性破缺排除掉的群元，用其他等價方式補回來。
如果沒補，邊界就是硬截斷，波動就會出現。
如果補了，但是補的方式和退相干噪聲的非馬爾可夫分量不匹配，那麼波動周期就會漂移。
你們兩個看到的，可能只是同一個根因的兩個不同表現。」
高清環和宋知愚互相對視了一眼，同時沉默了。
陽源的解釋確實把他們各自觀察到的現象串到了一起，但是問題也隨之變得更加棘手了。
要補回那些被平移對稱性破缺排除掉的群元，就得重新構造商空間的邊界映射關係，這個工作量可不是調幾個參數就能解決的。
就在三個人盯著白板上的示意圖陷入沉思的時候，一個聲音從他們身後傳了過來——
「這不是單純的噪聲侵蝕，而是商空間映射在邊界處發生了拓撲相變。權重分配不是線性的，必須引入邊界依賴的Gauge Potential來重構譜分解，把丟失的群元通過Aharonov-Bohm類效應等效補償回來才行。」
全神貫注的幾個人同時回頭，發現就肖宿站在實驗室門口，不知道已經在那裡看了多久了。
陽源第一個回過神來，放下手裡的記號筆迎上去，臉上露出一個大大的笑容。
「肖教授，您怎麼來了，我們這邊還有幾個問題一直沒能完全吃透，實驗進程一直沒什麼推進的。」
他還有點窘迫，沒想到肖宿好不容易來一趟，什麼進展都沒看見，淨看著他們絞盡腦汁的樣子了，不會影響他們在肖宿眼中的形象吧。
不過顯然他是白擔心了，肖宿雖然不常來實驗室，但是每天都會看實驗日誌和報告，對他們的進展瞭然於心，當然，也對他們的速度心中有數，所以陽源所擔心的形象，大概從一開始就已經確定了。
肖宿沒有說話，只是朝陽源點了點頭。
他走到實驗台前，掃了一眼屏幕上正滾動著的測試數據，又在宋知愚調出的對比仿真數據上停了幾秒，然後伸出手指在屏幕邊界處那三排物理比特的耦合強度分布圖上輕輕一點。
「你們把邊界效應想得太簡單了。商空間降維在體材料內部的映射是嚴格線性的，因為晶格平移對稱性保證了和樂群軌道等價類在每一個格點上的構造方式完全相同。
但是在邊界處，平移對稱性破缺不僅僅意味著群元丟失，更重要的是，商空間本身的拓撲結構在邊界處發生了相變。」
他轉過頭看著陽源。
「你剛才的分析方向是對的，群元的丟失需要用等價方式補回來。但是問題在於，你假設補回來的方式仍然可以在同一個商空間框架內完成，可實際上這個假設是不成立的。
邊界三排物理比特上的商空間已經不是體材料內部的商空間了，它在譜分解的意義下經歷了一個從單連通到多連通的拓撲相變。
你們測到的那個十五分貝的陡降，不是耦合強度衰減造成的，而是商空間的連通數在邊界處發生了跳變，導致第三排和第四排之間的譜分解不再連續。」
陽源聽到拓撲相變的時候，瞳孔猛地一縮。他之前花了整整兩個晚上推導邊界處商空間構造的修正方案，所有的思路都圍繞著如何在同一個拓撲結構下補償群元展開，從沒想過邊界處的商空間本身可能已經變成了另一種拓撲結構。
肖宿沒有停頓，手指又在屏幕上又畫了一道弧線，把邊界三排比特的耦合強度分布曲線圈了出來。
「你們看這條曲線。如果僅僅是群元丟失導致的耦合強度衰減，衰減曲線應該是平滑的指數衰減，因為最近鄰耦合和次近鄰耦合的權重分配在商空間降維的投影算子下是一個連續可微的函數。
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但是你們實測到的衰減曲線在第三排和第四排之間有一個接近階躍的斷崖，十五個分貝的落差壓縮在不到半個晶格常數的空間尺度內。
這種階躍特徵不是權重分配的問題，是拓撲不變量在邊界處發生了突變。換句話說，你們在邊界處處理的已經不是同一個商空間了。」
宋知愚張了張嘴，被肖宿的話震的腦子亂亂的。
「那……那拓撲相變之後的商空間，它的連通數和體材料內部會差多少呢？」
「體材料內部是單連通的，邊界三排變成了雙連通的。你們可以把邊界三排物理比特想像成被退相干噪聲從體材料的商空間裡硬生生撕出來的一個獨立子空間，這個子空間的拓撲結構和體材料內部的商空間之間隔著一個非平凡的Gauge變換。
所以你們之前用體材料內部的商空間框架去套邊界處的譜分解，相當於用單連通空間的譜去逼近雙連通空間的譜，收斂不了的。」
高清環的呼吸都明顯急促了幾分。
他搞了十年量子糾錯碼，從沒想過商空間降維在邊界處會涉及到拓撲相變這種級別的問題。
而現在肖宿的解釋一出來，他腦子裡那些零零碎碎的數據突然全部串聯了起來，像是一堆積木被一隻手輕輕一推就拼成了一幅完整的圖案。
「那Gauge變換的具體形式又是什麼呢？」高清環脫口而出。
他的聲音裡帶著一種壓抑不住的急迫，像一個在黑屋子裡摸索了很久的人突然看到門縫裡漏進來的一線光。
肖宿雙手抱胸，右手拿起陽源剛才放在白板槽里的記號筆，在商空間示意圖的邊界區域上畫了一個小圈。
「邊界依賴的Gauge Potential。
體材料內部的商空間構造是由晶格平移對稱性唯一確定的，但邊界處對稱性破缺之後，商空間的構造不再是唯一的，它依賴於邊界處退相干噪聲的局部統計特性。
這個Gauge Potential就是把邊界商空間從單連通映射到雙連通的那個非平凡Gauge變換的生成元。」
他在白板上飛快地寫下一行公式。
「這個Gauge Potential在物理上對應的就是次近鄰耦合中被平移對稱性破缺排除掉的那部分群元。
但是商空間的拓撲結構已經變了，你們直接把群元加回去是沒用的。
你們需要用這個Gauge Potential重新構造邊界處的譜分解，讓那些丟失的群元通過一個等效的Aharonov-Bohm類效應，從雙連通空間的一條不可縮路徑上繞回來。」
「所以關鍵不是耦合強度夠不夠，也不是權重分配對不對，而是商空間構造在處理邊界的時候，有沒有把那些被平移對稱性破缺排除掉的群元，用其他等價方式補回來。
如果沒補，邊界就是硬截斷，波動就會出現。
如果補了，但是補的方式和退相干噪聲的非馬爾可夫分量不匹配，那麼波動周期就會漂移。
你們兩個看到的，可能只是同一個根因的兩個不同表現。」
高清環和宋知愚互相對視了一眼，同時沉默了。
陽源的解釋確實把他們各自觀察到的現象串到了一起，但是問題也隨之變得更加棘手了。
要補回那些被平移對稱性破缺排除掉的群元，就得重新構造商空間的邊界映射關係，這個工作量可不是調幾個參數就能解決的。
就在三個人盯著白板上的示意圖陷入沉思的時候，一個聲音從他們身後傳了過來——
「這不是單純的噪聲侵蝕，而是商空間映射在邊界處發生了拓撲相變。權重分配不是線性的，必須引入邊界依賴的Gauge Potential來重構譜分解，把丟失的群元通過Aharonov-Bohm類效應等效補償回來才行。」
全神貫注的幾個人同時回頭，發現就肖宿站在實驗室門口，不知道已經在那裡看了多久了。
陽源第一個回過神來，放下手裡的記號筆迎上去，臉上露出一個大大的笑容。
「肖教授，您怎麼來了，我們這邊還有幾個問題一直沒能完全吃透，實驗進程一直沒什麼推進的。」
他還有點窘迫，沒想到肖宿好不容易來一趟，什麼進展都沒看見，淨看著他們絞盡腦汁的樣子了，不會影響他們在肖宿眼中的形象吧。
不過顯然他是白擔心了，肖宿雖然不常來實驗室，但是每天都會看實驗日誌和報告，對他們的進展瞭然於心，當然，也對他們的速度心中有數，所以陽源所擔心的形象，大概從一開始就已經確定了。
肖宿沒有說話，只是朝陽源點了點頭。
他走到實驗台前，掃了一眼屏幕上正滾動著的測試數據，又在宋知愚調出的對比仿真數據上停了幾秒，然後伸出手指在屏幕邊界處那三排物理比特的耦合強度分布圖上輕輕一點。
「你們把邊界效應想得太簡單了。商空間降維在體材料內部的映射是嚴格線性的，因為晶格平移對稱性保證了和樂群軌道等價類在每一個格點上的構造方式完全相同。
但是在邊界處，平移對稱性破缺不僅僅意味著群元丟失，更重要的是，商空間本身的拓撲結構在邊界處發生了相變。」
他轉過頭看著陽源。
「你剛才的分析方向是對的，群元的丟失需要用等價方式補回來。但是問題在於，你假設補回來的方式仍然可以在同一個商空間框架內完成，可實際上這個假設是不成立的。
邊界三排物理比特上的商空間已經不是體材料內部的商空間了，它在譜分解的意義下經歷了一個從單連通到多連通的拓撲相變。
你們測到的那個十五分貝的陡降，不是耦合強度衰減造成的，而是商空間的連通數在邊界處發生了跳變，導致第三排和第四排之間的譜分解不再連續。」
陽源聽到拓撲相變的時候，瞳孔猛地一縮。他之前花了整整兩個晚上推導邊界處商空間構造的修正方案，所有的思路都圍繞著如何在同一個拓撲結構下補償群元展開，從沒想過邊界處的商空間本身可能已經變成了另一種拓撲結構。
肖宿沒有停頓，手指又在屏幕上又畫了一道弧線，把邊界三排比特的耦合強度分布曲線圈了出來。
「你們看這條曲線。如果僅僅是群元丟失導致的耦合強度衰減，衰減曲線應該是平滑的指數衰減，因為最近鄰耦合和次近鄰耦合的權重分配在商空間降維的投影算子下是一個連續可微的函數。
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但是你們實測到的衰減曲線在第三排和第四排之間有一個接近階躍的斷崖，十五個分貝的落差壓縮在不到半個晶格常數的空間尺度內。
這種階躍特徵不是權重分配的問題，是拓撲不變量在邊界處發生了突變。換句話說，你們在邊界處處理的已經不是同一個商空間了。」
宋知愚張了張嘴，被肖宿的話震的腦子亂亂的。
「那……那拓撲相變之後的商空間，它的連通數和體材料內部會差多少呢？」
「體材料內部是單連通的，邊界三排變成了雙連通的。你們可以把邊界三排物理比特想像成被退相干噪聲從體材料的商空間裡硬生生撕出來的一個獨立子空間，這個子空間的拓撲結構和體材料內部的商空間之間隔著一個非平凡的Gauge變換。
所以你們之前用體材料內部的商空間框架去套邊界處的譜分解，相當於用單連通空間的譜去逼近雙連通空間的譜，收斂不了的。」
高清環的呼吸都明顯急促了幾分。
他搞了十年量子糾錯碼，從沒想過商空間降維在邊界處會涉及到拓撲相變這種級別的問題。
而現在肖宿的解釋一出來，他腦子裡那些零零碎碎的數據突然全部串聯了起來，像是一堆積木被一隻手輕輕一推就拼成了一幅完整的圖案。
「那Gauge變換的具體形式又是什麼呢？」高清環脫口而出。
他的聲音裡帶著一種壓抑不住的急迫，像一個在黑屋子裡摸索了很久的人突然看到門縫裡漏進來的一線光。
肖宿雙手抱胸，右手拿起陽源剛才放在白板槽里的記號筆，在商空間示意圖的邊界區域上畫了一個小圈。
「邊界依賴的Gauge Potential。
體材料內部的商空間構造是由晶格平移對稱性唯一確定的，但邊界處對稱性破缺之後，商空間的構造不再是唯一的，它依賴於邊界處退相干噪聲的局部統計特性。
這個Gauge Potential就是把邊界商空間從單連通映射到雙連通的那個非平凡Gauge變換的生成元。」
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「這個Gauge Potential在物理上對應的就是次近鄰耦合中被平移對稱性破缺排除掉的那部分群元。
但是商空間的拓撲結構已經變了，你們直接把群元加回去是沒用的。
你們需要用這個Gauge Potential重新構造邊界處的譜分解，讓那些丟失的群元通過一個等效的Aharonov-Bohm類效應，從雙連通空間的一條不可縮路徑上繞回來。」