第一百零三章 那六個人里一定要有你
第103章 那六個人里一定要有你
剩下的二十一個人，會回到各自的省份，回到原來的學校，把這段集訓經歷變成人生中一個短暫而耀眼的插曲，然後繼續走各自的路。
顧小北端著飯盆在陸沉和陳志遠對面坐下。
她今天打了西紅柿炒雞蛋和土豆絲，米飯上澆了一勺菜湯。
她坐下以後先吃了幾口，然後用筷子指了指陳志遠的碗。
「你那第三題扣的兩分，是配對那一步吧。」
陳志遠點頭。
「我也是那裡扣了一分。」顧小北說，「我寫了配對，但沒寫為什麼這樣配對能讓餘項最小。閱卷老師說動機不明。」
陳志遠愣了一下。
「你也被扣了？你不是滿分？」
「十九，第一題六分，第二題七分，第三題六分。」顧小北嚼著一塊西紅柿，語氣很平淡，但嚼的速度比平時慢，「第一題我用的是特徵標正交關係直接展開，展開到一半發現方向不太對，拐回去重新調整了分類討論的方式。寫是寫對了，但書寫有點亂，扣了一分。」
「十九分也不低了。」陳志遠說。
「是不低。」顧小北把西紅柿咽下去，「但我是衝著滿分去的。」
這句話她說得很輕，像是在說給自己聽。
陳志遠沒有接話。
陸沉也沒有。
三個人安靜地吃了一會兒飯，然後顧小北忽然換了一個話題。
「你們知道何巍考了多少嗎？」
陸沉和陳志遠都搖頭。
「二十。」顧小北說，「第三題滿分，第二題滿分。第一題扣了一分。」
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「第一題？」陳志遠有些意外。
分圓域分解律那道題是三道題里公認最標準的，大部分人的扣分都集中在第二題的邊界處理和第三題的陷阱上。
何巍居然在第一題上丟了分。
「他把分解律的證明從頭推了一遍。」顧小北說，「不是直接用已知結論，是從分歧指數的定義開始推的。推導是對的，但寫得太長了，最後時間不夠，收尾的時候略掉了一個邊界情況的說明。閱卷老師在那裡扣了一分。」
陸沉放下筷子。
何巍不是不會做第一題。
他是選擇了用一種更徹底的方式去做不滿足於知道分解律可以用，而要證明分解律為什麼成立。
這個選擇在考場上是不經濟的，代價就是那一分。
但何巍一定知道這個代價，他只是在知道代價的前提下仍然選擇了那麼做。
「他每次都這樣。」顧小北說，語氣里有一種複雜的情緒，既像是佩服又像是擔憂，「我聽四川隊的人說，去年他在省隊集訓的時候，有一次模擬考試，他一道解析幾何題用了四種方法解，寫了八頁紙，交卷的時候別人都走光了。最後那道題拿了滿分，但後面兩道題沒時間做，那次總分倒數。」
「那他還進國家隊了？」
「沒有，他連續三年集訓隊，三次都在最後一輪被刷。」
顧小北把飯盆里最後一塊西紅柿夾起來，「今年是他最後一次機會。他高三了，夏天不參加高考的話，就只有競賽這一條路。」
陸沉想起何巍在走廊里跟他討論群表示論時的那種語氣一沒有開場白，沒有結束語，只有對數學問題本身的專注。
那種專注不是表演出來的，是一個人真正沉浸在自己關心的領域裡時才會有的狀態。
何巍不是在為了進入國家隊而學數學，他是在學數學的過程中恰好需要進入國家隊，因為國家隊是他能繼續深入學數學的條件。
這兩種心態的區別很細微，但陸沉能分辨出來。
因為他自己，嚴格來說，屬於前者，他是為了某個目標而使用數學。
而何巍是後者，數學本身就是目標。
晚自習結束後，陸沉在回宿舍的路上經過操場。
操場的跑道被冬天天黑得早的夜色籠罩著，只有遠處路燈投過來一小片昏黃的光。
光里站著一個人，正在原地慢跑，跑得很慢，像是在用身體的重複運動消化腦子裡的什麼東西。
是何巍。
陸沉在跑道邊站了一會兒，然後走過去。
何巍看見他，沒有停下腳步，只是把速度放得更慢了。
「你每天這個時候都來跑步？」陸沉問。
「也不是每天，想題想不通的時候來。」何巍的呼吸很平穩，跑了這一段對他幾乎沒什麼影響，「跑著跑著，有時候就想通了。」
陸沉跟著他一起走。
兩個人沿著跑道慢慢地走了一圈，誰都沒說話。
操場邊緣的枯草在風裡發出細微的沙沙聲，遠處的學生宿舍亮著一排一排的窗戶，光從窗戶里透出來落在黑暗的地面上，像一把碎金子。
「第一題扣的那一分。」何巍忽然開口了，「你是不是也覺得我不應該扣？」
陸沉想了想。
「不是不應該。是你選擇了一種容易扣分的寫法。」
何巍沒有反駁。
他跑了兩步，然後慢下來，又變成走。
「那道題，標準解法是用已知的分解律直接套。題干里給的素數整除分圓次數，屬於分歧情形，分解型是確定的。套上去，寫幾行，就完了。
「但你沒有套。」
「因為我不喜歡套。」何巍說，「不是我覺得套公式低級，公式被證明了，拿來用天經地義。我不喜歡的是，每次套公式的時候，我心裡都會有一個聲音說：你只是知道這個公式能用，但你並沒有真正理解它為什麼能用。如果有一天你遇到一個公式覆蓋不了的邊界情況，你會手足無措。」
他停下來，轉過身看著陸沉。
路燈的光從他側面照過來，把他的臉分成明暗兩半。
「你知道我前兩年為什麼在最後一輪被刷嗎？」
陸沉搖頭。
「第一年，我在選拔賽里碰到一道題，標準解法是用一個已知的定理直接推。那個定理我學過，但我記不清它的全部條件了。我花了二十分鐘試圖把那個定理的條件從記憶里挖出來，沒挖全，最後證明有漏洞，那道題扣了一半的分。總分差零點五分，沒進。」
「第二年，我吸取了教訓，把常用定理的條件背得滾瓜爛熟。結果碰到一道題，標準解法是用一個不常用的定理，那個定理我沒背，又卡住了。」
何巍的聲音在冬夜的操場上有一種奇特的清晰度，每個字都被冷空氣凍得稜角分明。
「第三年，也就是今年，我不背了，我決定把每一個我遇到的定理，從它的前提條件到證明過程到適用範圍，全部自己推一遍。
不是為了考試的時候能套得更快，是為了下次再碰到一個我沒見過的定理時，我能從零開始把它造出來。」
陸沉看著他。
這個十七歲的四川少年，站在BJ冬夜的操場上，說出來的話像在宣讀一份他給自己制定的、不容更改的綱領。
「所以你第一題寫了那麼長。」陸沉說。
「對。」
「後面有時間壓力你也知道。」
「知道。」
「下次還這樣？」
何巍沒有立刻回答。
他把兩隻手插進褲兜里，仰起頭看了看天空。
BJ冬天的夜晚，雲層很厚，看不見星星，只有一種深沉的、不透光的灰色。
「我不知道。」他最後說，「如果下次的題目是我覺得值得徹底弄懂的，可能還會。
但我會試著寫得更快一點。」
他低下頭，看著陸沉。
「你和我相反，你是直接找到最短路徑走過去的，我觀察過你做圖蘭定理的證明—
你在莫斯科做的那個，你用的方法不是所有路徑里選最優，是你一開始就知道最優路徑在哪裡。」
陸沉沒有接話。
何巍的觀察是準確的，但何巍不知道他為什麼一開始就知道。
那不是天賦，是前世的積累。
他已經在另一條時間線上走過了所有的彎路，知道了哪些路不通，哪些路通但繞遠，哪些路最直。
他現在的直覺，是用前世無數次撞牆換來的地圖。
「我不知道你是怎麼做到的。」何巍說，「但你的方法，我學不來。」
他頓了頓。
「就像我的方法，你也學不來。」
陸沉想了想，點頭。
「是。」
何巍嘴角動了一下。
那不是笑，是一種被理解的確認。
他把手從褲兜里抽出來，拍了拍陸沉的肩膀。
那隻手很瘦，指節突出，拍在肩膀上的力道卻很實在。
「走了。明天還要早起。」
他轉身往宿舍樓走去，走了幾步又停下來，沒有回頭。
「陸沉。」
「嗯。
「」
「如果最後進國家隊的六個人里沒有我——」他停頓了一下，「那六個人里一定要有你。」
然後他繼續往前走，背影被路燈的光拉得很長，然後融進宿舍樓門口的陰影里。
陸沉在操場上又站了一會兒。
風從北面吹過來，帶著食堂後廚的油煙味和遠處供暖鍋爐的煤煙味，混合成BJ冬夜特有的氣息。
他把何巍那句話在心裡又過了一遍—一如果最後進國家隊的六個人里沒有我，那六個人里一定要有你。
何巍說這句話的時候沒有悲壯，沒有感傷，甚至沒有把自己放在一個犧牲者的位置上。
他只是客觀地評估了兩種可能性，然後給出了他認為對這支隊伍最優的配置方案。
就像他在考場上選擇從分歧指數定義開始推導分解律一樣，他知道代價，他接受了代價，然後繼續做他認為對的事。
第二周的專題是組合數學。
講課的老師換了一位，姓彭，中科院數學所的研究員，四十出頭，瘦，戴一副銀框眼鏡，說話語速極快，快到他的句子和句子之間幾乎沒有停頓，上一個句號還沒來得及在空氣里消散下一個句子已經衝出來了。
他在黑板上寫字的速度也快，粉筆撞擊黑板的聲音密集得像機關槍，一堂課下來黑板要擦三四遍。
彭老師講組合數學的方式和鄭老師完全不同。
鄭老師是講一個定理，停下來等人提問。
彭老師是講一個定理，然後立刻拋出三個變體，再然後讓下面的人現場想其中最簡單的那個變體怎麼證。
想三分鐘，然後點人起來回答。
被點到的人如果答不上來，他不會批評，但他會繼續點下一個，直到有人答上來為止。
他的課堂上，沒有人敢走神。
不是因為怕被點到，是因為他的講授節奏本身就不給人走神的機會—每一個知識點都直接咬合著下一個知識點，中間沒有縫隙。
周三上午，彭老師講到了拉姆齊理論。
他在黑板上寫下了拉姆齊數的定義：R（s，t）是滿足以下條件的最小正整數n：任何一個n階完全圖，用紅藍兩色對其邊任意染色，必然存在一個紅色的s階完全子圖，或者一個藍色的t階完全子圖。
寫完之後他轉過身。
「R（3，3）等於多少？」
「六。」好幾個人同時回答。
這是拉姆齊數里最經典的結論六個人中必然有三個互相認識或者三個互相不認識。
「證明。」
顧小北舉手，站起來用抽屜原理乾淨利落地證了一遍。
六個人，每個人與其他五人的關係只有兩種，抽屜原理保證至少有三條邊同色，然後分類討論。
證畢。
"R（4，4）呢？」
教室里安靜了。
R（4，4）等於十八，這是已知的結論，但證明比R（3，3）複雜得多，不是三分鐘能想出來的。
彭老師顯然也知道這一點，他沒有點人回答，而是在黑板上寫下了R（4，4）=18，然後說：「R（4，4）的準確值是1970年代才被確定的。在這之前，人們只知道它在某個範圍內。確定它的過程用了大量的計算機搜索。」
他在黑板上又寫了一個數：R（5，5）。
「這個數，現在還不知道準確值。只知道它在43到48之間。你們在座的任何人，如果有朝一日能把R（5，5）的準確值求出來，就可以直接去國際數學家大會上做報告了。」
教室里響起一陣低低的騷動。
一個未知的、懸賞了幾十年的數學問題，被彭老師用這樣一種輕描淡寫的方式扔在了他們面前。
「當然，這不是讓你們現在去做R（5，5）。」
彭老師推了推眼鏡，「我舉這個例子是想告訴你們：組合數學裡最困難的問題，往往表述起來最簡單。一個初中生都能聽懂的問題，全世界最聰明的數學家花了幾十年都解決不了。這就是組合數學的魅力，也是它的殘酷。」
他停頓了一下，目光掃過教室。
「接下來我們講一個和拉姆齊理論相關但方向不同的問題——圖蘭定理。」
陸沉的手指微微收緊了。
彭老師在黑板上寫下了一個公式：e（n，K₃），即n個頂點中不含三角形子圖的極大邊數。
然後他開始推導圖蘭定理的經典形式禁止K—{r+1}子圖的極大邊數由完全r部圖達到，邊數為（1—1/r）n/2加上低階項。
他講得很清楚，從極值圖論的基本思想出發，逐步構建圖蘭圖的構造，然後證明它的極值性。
講到一半的時候他忽然停下來，轉過身。
「圖蘭定理的擴展形式，涉及禁止任意給定圖H的極值問題，這是極值圖論的核心課題。去年，在莫斯科的國際數學奧林匹克上，有一位選手在圖蘭定理擴展形式上做出了一個非常漂亮的證明。」
他沒有看陸沉。
但他的目光掃過教室的時候，至少有十幾雙眼睛不由自主地轉向了陸沉的方向。
彭老師順著那些目光看過去，然後點了點頭。
「看來大家都知道是誰了。」
教室里有人輕輕笑了一聲，但笑聲很短就收了。
彭老師沒有在這個話題上多停留，繼續講他的課。
但陸沉注意到，當彭老師接下來講到圖蘭定理證明中一個關鍵引理的時候，他特意在黑板上寫下了兩種不同的證明路徑。
其中一種，正是陸沉在莫斯科用過的代數拓撲構造。
彭老師沒有說這是陸沉的方法。
他只是把兩種路徑並列寫在黑板上，然後說：「第一條路是傳統路徑，用的是概率方法和極值組合的標準工具。第二條路，是把極值圖論問題提升到拓撲層面，利用單純復形的同調群來刻畫極圖結構。兩條路都能通，但第二條路需要的工具更多，視野也更開闊。」
下課以後，彭老師收拾講台上的資料。
陸沉經過講台時，彭老師叫住了他。
「你莫斯科那份證明，我看了葉戈羅夫教授轉過來的稿子。」
彭老師把資料裝進一個舊的牛皮紙文件袋裡，動作不快，像在整理一堆需要小心對待的東西，「裡面用同調群刻畫極圖結構的那一步，你用了譜序列，在那個年紀，會想到用譜序列的人，我沒見過第二個。」
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剩下的二十一個人，會回到各自的省份，回到原來的學校，把這段集訓經歷變成人生中一個短暫而耀眼的插曲，然後繼續走各自的路。
顧小北端著飯盆在陸沉和陳志遠對面坐下。
她今天打了西紅柿炒雞蛋和土豆絲，米飯上澆了一勺菜湯。
她坐下以後先吃了幾口，然後用筷子指了指陳志遠的碗。
「你那第三題扣的兩分，是配對那一步吧。」
陳志遠點頭。
「我也是那裡扣了一分。」顧小北說，「我寫了配對，但沒寫為什麼這樣配對能讓餘項最小。閱卷老師說動機不明。」
陳志遠愣了一下。
「你也被扣了？你不是滿分？」
「十九，第一題六分，第二題七分，第三題六分。」顧小北嚼著一塊西紅柿，語氣很平淡，但嚼的速度比平時慢，「第一題我用的是特徵標正交關係直接展開，展開到一半發現方向不太對，拐回去重新調整了分類討論的方式。寫是寫對了，但書寫有點亂，扣了一分。」
「十九分也不低了。」陳志遠說。
「是不低。」顧小北把西紅柿咽下去，「但我是衝著滿分去的。」
這句話她說得很輕，像是在說給自己聽。
陳志遠沒有接話。
陸沉也沒有。
三個人安靜地吃了一會兒飯，然後顧小北忽然換了一個話題。
「你們知道何巍考了多少嗎？」
陸沉和陳志遠都搖頭。
「二十。」顧小北說，「第三題滿分，第二題滿分。第一題扣了一分。」
全網首發更新 TW 看書網伴你閒，𝓈𝒽𝓊.𝓉𝓌超貼心
「第一題？」陳志遠有些意外。
分圓域分解律那道題是三道題里公認最標準的，大部分人的扣分都集中在第二題的邊界處理和第三題的陷阱上。
何巍居然在第一題上丟了分。
「他把分解律的證明從頭推了一遍。」顧小北說，「不是直接用已知結論，是從分歧指數的定義開始推的。推導是對的，但寫得太長了，最後時間不夠，收尾的時候略掉了一個邊界情況的說明。閱卷老師在那裡扣了一分。」
陸沉放下筷子。
何巍不是不會做第一題。
他是選擇了用一種更徹底的方式去做不滿足於知道分解律可以用，而要證明分解律為什麼成立。
這個選擇在考場上是不經濟的，代價就是那一分。
但何巍一定知道這個代價，他只是在知道代價的前提下仍然選擇了那麼做。
「他每次都這樣。」顧小北說，語氣里有一種複雜的情緒，既像是佩服又像是擔憂，「我聽四川隊的人說，去年他在省隊集訓的時候，有一次模擬考試，他一道解析幾何題用了四種方法解，寫了八頁紙，交卷的時候別人都走光了。最後那道題拿了滿分，但後面兩道題沒時間做，那次總分倒數。」
「那他還進國家隊了？」
「沒有，他連續三年集訓隊，三次都在最後一輪被刷。」
顧小北把飯盆里最後一塊西紅柿夾起來，「今年是他最後一次機會。他高三了，夏天不參加高考的話，就只有競賽這一條路。」
陸沉想起何巍在走廊里跟他討論群表示論時的那種語氣一沒有開場白，沒有結束語，只有對數學問題本身的專注。
那種專注不是表演出來的，是一個人真正沉浸在自己關心的領域裡時才會有的狀態。
何巍不是在為了進入國家隊而學數學，他是在學數學的過程中恰好需要進入國家隊，因為國家隊是他能繼續深入學數學的條件。
這兩種心態的區別很細微，但陸沉能分辨出來。
因為他自己，嚴格來說，屬於前者，他是為了某個目標而使用數學。
而何巍是後者，數學本身就是目標。
晚自習結束後，陸沉在回宿舍的路上經過操場。
操場的跑道被冬天天黑得早的夜色籠罩著，只有遠處路燈投過來一小片昏黃的光。
光里站著一個人，正在原地慢跑，跑得很慢，像是在用身體的重複運動消化腦子裡的什麼東西。
是何巍。
陸沉在跑道邊站了一會兒，然後走過去。
何巍看見他，沒有停下腳步，只是把速度放得更慢了。
「你每天這個時候都來跑步？」陸沉問。
「也不是每天，想題想不通的時候來。」何巍的呼吸很平穩，跑了這一段對他幾乎沒什麼影響，「跑著跑著，有時候就想通了。」
陸沉跟著他一起走。
兩個人沿著跑道慢慢地走了一圈，誰都沒說話。
操場邊緣的枯草在風裡發出細微的沙沙聲，遠處的學生宿舍亮著一排一排的窗戶，光從窗戶里透出來落在黑暗的地面上，像一把碎金子。
「第一題扣的那一分。」何巍忽然開口了，「你是不是也覺得我不應該扣？」
陸沉想了想。
「不是不應該。是你選擇了一種容易扣分的寫法。」
何巍沒有反駁。
他跑了兩步，然後慢下來，又變成走。
「那道題，標準解法是用已知的分解律直接套。題干里給的素數整除分圓次數，屬於分歧情形，分解型是確定的。套上去，寫幾行，就完了。
「但你沒有套。」
「因為我不喜歡套。」何巍說，「不是我覺得套公式低級，公式被證明了，拿來用天經地義。我不喜歡的是，每次套公式的時候，我心裡都會有一個聲音說：你只是知道這個公式能用，但你並沒有真正理解它為什麼能用。如果有一天你遇到一個公式覆蓋不了的邊界情況，你會手足無措。」
他停下來，轉過身看著陸沉。
路燈的光從他側面照過來，把他的臉分成明暗兩半。
「你知道我前兩年為什麼在最後一輪被刷嗎？」
陸沉搖頭。
「第一年，我在選拔賽里碰到一道題，標準解法是用一個已知的定理直接推。那個定理我學過，但我記不清它的全部條件了。我花了二十分鐘試圖把那個定理的條件從記憶里挖出來，沒挖全，最後證明有漏洞，那道題扣了一半的分。總分差零點五分，沒進。」
「第二年，我吸取了教訓，把常用定理的條件背得滾瓜爛熟。結果碰到一道題，標準解法是用一個不常用的定理，那個定理我沒背，又卡住了。」
何巍的聲音在冬夜的操場上有一種奇特的清晰度，每個字都被冷空氣凍得稜角分明。
「第三年，也就是今年，我不背了，我決定把每一個我遇到的定理，從它的前提條件到證明過程到適用範圍，全部自己推一遍。
不是為了考試的時候能套得更快，是為了下次再碰到一個我沒見過的定理時，我能從零開始把它造出來。」
陸沉看著他。
這個十七歲的四川少年，站在BJ冬夜的操場上，說出來的話像在宣讀一份他給自己制定的、不容更改的綱領。
「所以你第一題寫了那麼長。」陸沉說。
「對。」
「後面有時間壓力你也知道。」
「知道。」
「下次還這樣？」
何巍沒有立刻回答。
他把兩隻手插進褲兜里，仰起頭看了看天空。
BJ冬天的夜晚，雲層很厚，看不見星星，只有一種深沉的、不透光的灰色。
「我不知道。」他最後說，「如果下次的題目是我覺得值得徹底弄懂的，可能還會。
但我會試著寫得更快一點。」
他低下頭，看著陸沉。
「你和我相反，你是直接找到最短路徑走過去的，我觀察過你做圖蘭定理的證明—
你在莫斯科做的那個，你用的方法不是所有路徑里選最優，是你一開始就知道最優路徑在哪裡。」
陸沉沒有接話。
何巍的觀察是準確的，但何巍不知道他為什麼一開始就知道。
那不是天賦，是前世的積累。
他已經在另一條時間線上走過了所有的彎路，知道了哪些路不通，哪些路通但繞遠，哪些路最直。
他現在的直覺，是用前世無數次撞牆換來的地圖。
「我不知道你是怎麼做到的。」何巍說，「但你的方法，我學不來。」
他頓了頓。
「就像我的方法，你也學不來。」
陸沉想了想，點頭。
「是。」
何巍嘴角動了一下。
那不是笑，是一種被理解的確認。
他把手從褲兜里抽出來，拍了拍陸沉的肩膀。
那隻手很瘦，指節突出，拍在肩膀上的力道卻很實在。
「走了。明天還要早起。」
他轉身往宿舍樓走去，走了幾步又停下來，沒有回頭。
「陸沉。」
「嗯。
「」
「如果最後進國家隊的六個人里沒有我——」他停頓了一下，「那六個人里一定要有你。」
然後他繼續往前走，背影被路燈的光拉得很長，然後融進宿舍樓門口的陰影里。
陸沉在操場上又站了一會兒。
風從北面吹過來，帶著食堂後廚的油煙味和遠處供暖鍋爐的煤煙味，混合成BJ冬夜特有的氣息。
他把何巍那句話在心裡又過了一遍—一如果最後進國家隊的六個人里沒有我，那六個人里一定要有你。
何巍說這句話的時候沒有悲壯，沒有感傷，甚至沒有把自己放在一個犧牲者的位置上。
他只是客觀地評估了兩種可能性，然後給出了他認為對這支隊伍最優的配置方案。
就像他在考場上選擇從分歧指數定義開始推導分解律一樣，他知道代價，他接受了代價，然後繼續做他認為對的事。
第二周的專題是組合數學。
講課的老師換了一位，姓彭，中科院數學所的研究員，四十出頭，瘦，戴一副銀框眼鏡，說話語速極快，快到他的句子和句子之間幾乎沒有停頓，上一個句號還沒來得及在空氣里消散下一個句子已經衝出來了。
他在黑板上寫字的速度也快，粉筆撞擊黑板的聲音密集得像機關槍，一堂課下來黑板要擦三四遍。
彭老師講組合數學的方式和鄭老師完全不同。
鄭老師是講一個定理，停下來等人提問。
彭老師是講一個定理，然後立刻拋出三個變體，再然後讓下面的人現場想其中最簡單的那個變體怎麼證。
想三分鐘，然後點人起來回答。
被點到的人如果答不上來，他不會批評，但他會繼續點下一個，直到有人答上來為止。
他的課堂上，沒有人敢走神。
不是因為怕被點到，是因為他的講授節奏本身就不給人走神的機會—每一個知識點都直接咬合著下一個知識點，中間沒有縫隙。
周三上午，彭老師講到了拉姆齊理論。
他在黑板上寫下了拉姆齊數的定義：R（s，t）是滿足以下條件的最小正整數n：任何一個n階完全圖，用紅藍兩色對其邊任意染色，必然存在一個紅色的s階完全子圖，或者一個藍色的t階完全子圖。
寫完之後他轉過身。
「R（3，3）等於多少？」
「六。」好幾個人同時回答。
這是拉姆齊數里最經典的結論六個人中必然有三個互相認識或者三個互相不認識。
「證明。」
顧小北舉手，站起來用抽屜原理乾淨利落地證了一遍。
六個人，每個人與其他五人的關係只有兩種，抽屜原理保證至少有三條邊同色，然後分類討論。
證畢。
"R（4，4）呢？」
教室里安靜了。
R（4，4）等於十八，這是已知的結論，但證明比R（3，3）複雜得多，不是三分鐘能想出來的。
彭老師顯然也知道這一點，他沒有點人回答，而是在黑板上寫下了R（4，4）=18，然後說：「R（4，4）的準確值是1970年代才被確定的。在這之前，人們只知道它在某個範圍內。確定它的過程用了大量的計算機搜索。」
他在黑板上又寫了一個數：R（5，5）。
「這個數，現在還不知道準確值。只知道它在43到48之間。你們在座的任何人，如果有朝一日能把R（5，5）的準確值求出來，就可以直接去國際數學家大會上做報告了。」
教室里響起一陣低低的騷動。
一個未知的、懸賞了幾十年的數學問題，被彭老師用這樣一種輕描淡寫的方式扔在了他們面前。
「當然，這不是讓你們現在去做R（5，5）。」
彭老師推了推眼鏡，「我舉這個例子是想告訴你們：組合數學裡最困難的問題，往往表述起來最簡單。一個初中生都能聽懂的問題，全世界最聰明的數學家花了幾十年都解決不了。這就是組合數學的魅力，也是它的殘酷。」
他停頓了一下，目光掃過教室。
「接下來我們講一個和拉姆齊理論相關但方向不同的問題——圖蘭定理。」
陸沉的手指微微收緊了。
彭老師在黑板上寫下了一個公式：e（n，K₃），即n個頂點中不含三角形子圖的極大邊數。
然後他開始推導圖蘭定理的經典形式禁止K—{r+1}子圖的極大邊數由完全r部圖達到，邊數為（1—1/r）n/2加上低階項。
他講得很清楚，從極值圖論的基本思想出發，逐步構建圖蘭圖的構造，然後證明它的極值性。
講到一半的時候他忽然停下來，轉過身。
「圖蘭定理的擴展形式，涉及禁止任意給定圖H的極值問題，這是極值圖論的核心課題。去年，在莫斯科的國際數學奧林匹克上，有一位選手在圖蘭定理擴展形式上做出了一個非常漂亮的證明。」
他沒有看陸沉。
但他的目光掃過教室的時候，至少有十幾雙眼睛不由自主地轉向了陸沉的方向。
彭老師順著那些目光看過去，然後點了點頭。
「看來大家都知道是誰了。」
教室里有人輕輕笑了一聲，但笑聲很短就收了。
彭老師沒有在這個話題上多停留，繼續講他的課。
但陸沉注意到，當彭老師接下來講到圖蘭定理證明中一個關鍵引理的時候，他特意在黑板上寫下了兩種不同的證明路徑。
其中一種，正是陸沉在莫斯科用過的代數拓撲構造。
彭老師沒有說這是陸沉的方法。
他只是把兩種路徑並列寫在黑板上，然後說：「第一條路是傳統路徑，用的是概率方法和極值組合的標準工具。第二條路，是把極值圖論問題提升到拓撲層面，利用單純復形的同調群來刻畫極圖結構。兩條路都能通，但第二條路需要的工具更多，視野也更開闊。」
下課以後，彭老師收拾講台上的資料。
陸沉經過講台時，彭老師叫住了他。
「你莫斯科那份證明，我看了葉戈羅夫教授轉過來的稿子。」
彭老師把資料裝進一個舊的牛皮紙文件袋裡，動作不快，像在整理一堆需要小心對待的東西，「裡面用同調群刻畫極圖結構的那一步，你用了譜序列，在那個年紀，會想到用譜序列的人，我沒見過第二個。」
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