第十六章 統計概率
「此校長獎學金和大學裡邊那些校長獎學金不同，完全是我作為一個校長可以行使的權利，每年可以評三個。」
「昨年已經評過崔止了，今年不太好繼續評他。你們兩個倒是也有這個資格。諾，簽一下名吧。」
方兵翰把文件翻開，指著右下角的位置，示意兩人寫下自己的名字。
「就，這麼草率？」
真讓簽名字時，許證卻遲疑住了。
「什麼草不草率，校長獎學金就是給予學校領導看來潛力最大的那三個人。你們倆，一步一個台階，先從普通班跳到數學集訓隊，然後滿分進數競，現在月考又考這麼高。」
「你倆不拿還有誰有資格？快簽，簽完我還很忙。」
看著校長這滿不在乎的神態，不知道的還以為手上拿的是什麼自願補課聲明。
待許證許偉乖乖寫上自己的名字後，方兵翰便轉頭離開。他從校長辦公室不遠萬里過來，就是為了這件事，辦完自然也就走了。
「好歹是一萬塊錢，換算成學科狀元的話可要五科第一才拿得到，不要白不要。」
許偉聳聳肩，面色坦然。
「那什麼揭榜掛帥，你要不要去看一下。」
如果方兵翰不講揭榜掛帥，那許證就興高采烈捧著文件回去了。
但既然他講了，那怎能不去看兩眼。許證有預感，他會在這上面拿到比校長獎學金多得多的錢。
「這……現在不是晚自習時間嗎？」許偉猶豫道。
「你還擔心上曠課了？前面兩次校長找我們，你不都說的至少可以水一節晚自習過去嗎？」
「有啥怕的？待會回去還不知道老師問不問呢，問就是跟校長交流。」
許證仿佛第一次認知許偉，這種話居然能從他嘴裡說出來。
夜黑風高，許證許偉兩個人偷偷摸摸鑽到通知欄面前。
「揭榜掛帥……找到了！」
「關於天工重器集團揭榜掛帥活動的通知……」
別看公文寫了一長串，說下來幾句話就能概括。
現在已經組建好了一隻科研團隊，擬在錦雲中學招收數學競賽、化學競賽、信息競賽隊成員各一名，擇優錄取。
後面還附了這三名學生的錄取條件傾向，以及附帶三道題目，每位錄取人員對應一道，做出來就有機會參與面試。
這也是一種手段，把不靠譜的學生提前篩選出來，攔在外面，要不然很多學生頭腦一熱，都去報名，那面試成本可就高了。
數學競賽學員的要求是……擅長統計概率？
許證又看向數學競賽錄取所附帶的題目，好長一串。
設每個觀測 Xᵢ（i=1，…，60）獨立地來自如下兩成分混合模型：
Xᵢ｜Zᵢ=k ~LogNormal (μₖ，σₖ²)，k=1，2，其中 Zᵢ∈{1，2}是不可觀測的群體歸屬指示變量，P (Zᵢ=1)=π，P (Zᵢ=2)=1−π（0<π<1）。
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注意：μₖ、σₖ是 ln X的均值與標準差（對數尺度參數），不是尺寸 X本身的均值；X的條件期望為 E [X｜Z=k]=exp (μₖ+σₖ²/2)。
(1)僅憑這 60個觀測值，是否可以判斷它們是來自一個總體，還是兩個總體的混合？請給出描述性依據，並說明若要做正式統計判斷，可選用哪些方法（不必實際計算）。
（2）……
（3）……
（圖一：觀測值（數據已按升序排列））
這都是些啥啊？完全是自己沒學過的內容啊？
許證知道均值、標準差、條件期望這些是什麼意思，但是群體歸屬指示變量，還有那一串字母又是啥玩意啊？
exp?許證只知道xp是啥。
許證剛打起退堂鼓，卻看見了最下邊的人員勞務費。
高中生是以科研助理的身份進入課題組，給予每月5000的科研助理津貼。
要知道，這項科研任務，集團所規定的時限是六個月，也就意味著集團認為解決這個難題花的時間在六個月左右。
一個月五千，六個月可是三萬！
更何況，這還不算完工過後的獎勵。
不過是統計概率罷了，任何阻擋我賺錢的都是紙老虎！
「許偉，你對這個有興趣嗎？」
「沒，」許偉打了個哈欠，「你想去就去唄，而且我覺得你競爭不過主力班的人。」
競爭不過？那又沒啥損失，但要是自己被錄取了，那就是血賺！
「行了，趕緊回去吧，我們都快消失一節課了，校長再能說也不至於拉著我們談了一節課吧。」
回到教室，許證確實沒了寫小藍本B輯的心思，他的注意力已經全面撲到了揭榜掛帥身上。
「許偉，你有統計概率相關的學習資料沒？」
許偉猛地抬頭看著許證，挑眉道，
「沒有這麼專業的學習資料，你得去圖書館找。
你還在想那揭榜掛帥呢，一個月，你能學懂統計概率嗎？主力班那群人可不是吃素的。可別竹籃打水一場空。」
「放心，我就看看，要是學不懂肯定知難而退的。」
嘴上這麼說，許證心裡卻是另一套想法。
自己把錢全部梭哈了，拿出一天的時間來學，最多可以達到近150點的推理能力，不信學不會。
畢竟他相信，那些主力班的天才，也是從零開始學習這方面的內容，自己未必沒有機會。
「姐姐你好，我想問一下，統計學的相關著作放在哪裡啊？」
怎麼這麼晚還有來借書的同學，自己明明都要下班了……
「稍等，我幫你查詢一下哈，在C843。」
許證抱著一大堆統計概率相關著作回到寢室，一路上回頭率非常之高。
「你們數競的生活確實豐富哈，真是太充實了。」
張志道看著許證身旁有小腿高的書籍，咽了一口吐唾沫。
這麼多這麼厚的內容，要一個月學完？用量子速讀嗎？
閒著也是閒著，張志道抽了一本書出來。
「《有限混合模型（FMM）：STaTa分析》？讓我看看？焯，怎麼還是繁體？」
「怎麼一句話都看不懂啊？怎麼全是長難句啊？」
「行了，別哀嚎了，說點大家不知道的。」
許證揉揉眉心，這破書看得他腦袋痛。
張志道成績再怎麼差，好歹人家是真真實實考進錦雲中學的，智商擺在那裡。
連他都不會，自己當然更不會。
幹了！
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「就，這麼草率？」
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「什麼草不草率，校長獎學金就是給予學校領導看來潛力最大的那三個人。你們倆，一步一個台階，先從普通班跳到數學集訓隊，然後滿分進數競，現在月考又考這麼高。」
「你倆不拿還有誰有資格？快簽，簽完我還很忙。」
看著校長這滿不在乎的神態，不知道的還以為手上拿的是什麼自願補課聲明。
待許證許偉乖乖寫上自己的名字後，方兵翰便轉頭離開。他從校長辦公室不遠萬里過來，就是為了這件事，辦完自然也就走了。
「好歹是一萬塊錢，換算成學科狀元的話可要五科第一才拿得到，不要白不要。」
許偉聳聳肩，面色坦然。
「那什麼揭榜掛帥，你要不要去看一下。」
如果方兵翰不講揭榜掛帥，那許證就興高采烈捧著文件回去了。
但既然他講了，那怎能不去看兩眼。許證有預感，他會在這上面拿到比校長獎學金多得多的錢。
「這……現在不是晚自習時間嗎？」許偉猶豫道。
「你還擔心上曠課了？前面兩次校長找我們，你不都說的至少可以水一節晚自習過去嗎？」
「有啥怕的？待會回去還不知道老師問不問呢，問就是跟校長交流。」
許證仿佛第一次認知許偉，這種話居然能從他嘴裡說出來。
夜黑風高，許證許偉兩個人偷偷摸摸鑽到通知欄面前。
「揭榜掛帥……找到了！」
「關於天工重器集團揭榜掛帥活動的通知……」
別看公文寫了一長串，說下來幾句話就能概括。
現在已經組建好了一隻科研團隊，擬在錦雲中學招收數學競賽、化學競賽、信息競賽隊成員各一名，擇優錄取。
後面還附了這三名學生的錄取條件傾向，以及附帶三道題目，每位錄取人員對應一道，做出來就有機會參與面試。
這也是一種手段，把不靠譜的學生提前篩選出來，攔在外面，要不然很多學生頭腦一熱，都去報名，那面試成本可就高了。
數學競賽學員的要求是……擅長統計概率？
許證又看向數學競賽錄取所附帶的題目，好長一串。
設每個觀測 Xᵢ（i=1，…，60）獨立地來自如下兩成分混合模型：
Xᵢ｜Zᵢ=k ~LogNormal (μₖ，σₖ²)，k=1，2，其中 Zᵢ∈{1，2}是不可觀測的群體歸屬指示變量，P (Zᵢ=1)=π，P (Zᵢ=2)=1−π（0<π<1）。
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注意：μₖ、σₖ是 ln X的均值與標準差（對數尺度參數），不是尺寸 X本身的均值；X的條件期望為 E [X｜Z=k]=exp (μₖ+σₖ²/2)。
(1)僅憑這 60個觀測值，是否可以判斷它們是來自一個總體，還是兩個總體的混合？請給出描述性依據，並說明若要做正式統計判斷，可選用哪些方法（不必實際計算）。
（2）……
（3）……
（圖一：觀測值（數據已按升序排列））
這都是些啥啊？完全是自己沒學過的內容啊？
許證知道均值、標準差、條件期望這些是什麼意思，但是群體歸屬指示變量，還有那一串字母又是啥玩意啊？
exp?許證只知道xp是啥。
許證剛打起退堂鼓，卻看見了最下邊的人員勞務費。
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要知道，這項科研任務，集團所規定的時限是六個月，也就意味著集團認為解決這個難題花的時間在六個月左右。
一個月五千，六個月可是三萬！
更何況，這還不算完工過後的獎勵。
不過是統計概率罷了，任何阻擋我賺錢的都是紙老虎！
「許偉，你對這個有興趣嗎？」
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「行了，趕緊回去吧，我們都快消失一節課了，校長再能說也不至於拉著我們談了一節課吧。」
回到教室，許證確實沒了寫小藍本B輯的心思，他的注意力已經全面撲到了揭榜掛帥身上。
「許偉，你有統計概率相關的學習資料沒？」
許偉猛地抬頭看著許證，挑眉道，
「沒有這麼專業的學習資料，你得去圖書館找。
你還在想那揭榜掛帥呢，一個月，你能學懂統計概率嗎？主力班那群人可不是吃素的。可別竹籃打水一場空。」
「放心，我就看看，要是學不懂肯定知難而退的。」
嘴上這麼說，許證心裡卻是另一套想法。
自己把錢全部梭哈了，拿出一天的時間來學，最多可以達到近150點的推理能力，不信學不會。
畢竟他相信，那些主力班的天才，也是從零開始學習這方面的內容，自己未必沒有機會。
「姐姐你好，我想問一下，統計學的相關著作放在哪裡啊？」
怎麼這麼晚還有來借書的同學，自己明明都要下班了……
「稍等，我幫你查詢一下哈，在C843。」
許證抱著一大堆統計概率相關著作回到寢室，一路上回頭率非常之高。
「你們數競的生活確實豐富哈，真是太充實了。」
張志道看著許證身旁有小腿高的書籍，咽了一口吐唾沫。
這麼多這麼厚的內容，要一個月學完？用量子速讀嗎？
閒著也是閒著，張志道抽了一本書出來。
「《有限混合模型（FMM）：STaTa分析》？讓我看看？焯，怎麼還是繁體？」
「怎麼一句話都看不懂啊？怎麼全是長難句啊？」
「行了，別哀嚎了，說點大家不知道的。」
許證揉揉眉心，這破書看得他腦袋痛。
張志道成績再怎麼差，好歹人家是真真實實考進錦雲中學的，智商擺在那裡。
連他都不會，自己當然更不會。
幹了！