第35章 你管這叫易得？
今日風兒正佳。
有微風吹過草坪，拂走天上的朵朵白雲。
和煦的陽光照射著黑板，吸引著所有老師同學們的目光。
他們有的抱胸審視著，有的不屑著，有的認真觀看著。
有的謎一樣的，沉默著的，故事你真的在聽嗎（）
黎默單手揣兜，雖無意耍帥，但帥的不談。
他輕輕在黑板上寫下第一個式子：
【dy/dx=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx】
「這個式子，有人稱之為流數，有人稱之為微分，但大主教在一百多年前提出過一個問題：這個作為分母的Δx，它到底是不是零……」
哈里森先生忽然有一種預感，黎默今天並不是有備而來這麼簡單……
在他身旁，坐著三位優秀的老師：
講授應用力學的沃爾特先生、教代數的凡斯先生，還有向來以挑剔著稱的古典幾何教師柯林斯。
三名老師對黎默提出的問題作出了不同的反應，但反應的底色是一致的：
——這小子，究竟想說什麼？
黎默接著道：「如果它是零，那麼在運算的第一步，我們憑什麼用一個零作為分母去進行除法？如果它不是零，那麼在推導的最後一步，我們憑什麼把它直接當作零捨棄掉？」
馬修舉手，起身道：「討論這個沒有意義吧，實際計算中答案永遠是正確的！」
他今天很活躍，他要抓住一切機會表現自己。
——萬一這就是組織給自己準備的裝逼機會呢！
「馬修同學說得對，答案是正確的，但依靠這種方式得出的正確，我覺得並不優雅，今天我會用純粹的代數不等式，給極限一個精確定義形式。」
黎默轉過身，抬起右手。
「我們設函數 f(x)在點x₀的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數ε……」
「……無論這個ε多么小，都存在一個正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x₀|<δ時，對應的函數值都滿足不等式|f(x)-A|<ε。」
「那麼，常數 A就叫做函數f(x)當x趨向於x₀時的極限。」
完整的數學表達如下：
【對於任意ε>0，存在δ>0，使得當0<|x-x₀|<δ時，恆有|f(x)-A|<ε】
寫完之後。
大部分學生表情茫然。
「這寫的是什麼東西？」
「看不懂……這怎麼算極限？」
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「都沒有畫切線，也沒有畫速度曲線，這到底在表達什麼？」
哈里森先生正在筆記本上飛快默寫、思考。
其他三位老師也認真了些，試圖跟上黎默的思路。
黎默覺得自己講的不算快，已經留了幾十秒鐘的時間給大家思考。
他想了想，還貼心的多解釋了一句：
「諸位，ε是挑戰者給出的誤差容限，挑戰者可以讓函數值與A的差距小於一千分之一，而證明者的任務，是交出一個區間半徑δ，只要在這個半徑內取值，誤差就絕不會超出挑戰者的要求，靜態的不等式替代模糊，這就是現代數學該有的嚴密性。」
黎默說完，覺得老師們應該怎麼都能聽懂了。
便繼續往下推演：
「接下來證明極限的局部有界性，已知lim(x→x₀)f(x)=A，我們取ε=1，則存在對應的δ> 0……」
絕對值不等拆解：【|f(x)|=|f(x)- A + A|≤|f(x)- A|+|A|< 1 +|A|】
黎默寫完，說道：
「由此，根據三角不等式，易得，函數f(x)在該去心鄰域內局部有界。」
他隨即劃下一道橫線。
準備進入下一節關於極限唯一性的證明。
台下的眾人這下是真懵逼了。
唯一能勉強跟上的凡斯老師如今也是愣愣地看著黑板。
怎麼就易得了？哪來的易得？
絕對值符號到底是怎麼跳到1+|A|的？
有一名數學科優等生也忍不住了，他舉起右手，聲音遲疑道：「抱歉……黎默同學，請稍等一下！」
黎默停下動作：「有什麼疑問嗎？」
優等生站起身，艱難地問道：「你剛才說……易得？這裡到底是怎麼得出來的？我不太理解……」
黎默愣了一下。
前世大一就會學的分析學入門的絕對值放縮。
對他來說確實是易得。
但在這個時代，顯然是超綱了。
黎默輕輕點了點頭：「哦，抱歉，這部分跳過了三步絕對值放縮，我重新展開講講。」
他拿起黑板擦，擦掉了那行簡寫。
「我們退回一步，利用絕對值三角不等式的性質，對於任意實數a和b，恆有|a + b|≤|a|+|b|。這裡我們令a=f(x)-A，令b=A……」
一步一步詳細拆解。
「若只討論去心鄰域，上界就是1+|A|；若函數在中心點x₀處本身也有定義，將它一併囊括進來，整個閉鄰域內的界便是M=max{|f(x₀)|，1+|A|}。」
「精彩……精彩！」
一片安靜中，哈里森先生忍不住起身驚呼！
學生們面面相覷。
大部分人都沒聽懂。
但是看老師都起來說精彩了……估計是正確的吧？
於是有人懵懵的開始鼓掌。
一有人鼓掌，其他人也趕緊跟上。
嘩啦啦的掌聲隨之響起一片。
馬修臉色不太好看。
——說好的讓自己裝逼呢？怎麼又讓黎默裝上了？
——這個神秘儀式是不是給錯人了呀？！
黎默看大家都鼓起掌，想來應該都聽懂了，便自然往下說：
「我們來看一個實際問題吧。」
「這是最近我在家裡的紡紗廠幫忙改良蒸汽機的時候，遇到的問題。」
這個年代的蒸汽機會有一個離心式飛球調速器。
兩個金屬球通過連杆懸掛在旋轉軸兩側。
隨著軸的轉速增加。
離心力驅動金屬球向外張開，進而通過槓桿聯動控制進氣閥門的開度。
「在蒙德爾港和各大紡織工廠的蒸汽機中，工人們常常面臨調速器飛球振盪的問題，在實際運轉中，調速器常常發生震顫，甚至導致蒸汽管道爆裂，對吧。」
機械科的幾名學生一聽這話打起精神來了。
這是他們日常實習中經常遇到的故障口牙！
「為什麼會出現這種情況？因為這應該是一個多自由度的動力學系統。」
黎默寫下了一個閉環攝動特徵方程：
【d³(Δθ)/dt³+a₁·d²(Δθ)/dt²+a₂·d(Δθ)/dt+a₃·(Δθ)=0】
「飛球開度微擾為Δθ，主軸角速度擾動在工作點附近線性展開，若我們要徹底消除飛球的自激振顫，使系統在紡紗機負荷突變後能夠漸近收斂回平衡態……」
「並且，要保證主軸轉速在衰減過程中的最大動態超調量不超過5%……」
「請根據該三次特徵代數方程，給出系統特徵根實部全部為負的充要條件，並由此計算出：在這幾個係數里的機械阻尼器係數，必須大於哪一個臨界閾值？」
寫完題目，黎默看向台下眾人：
「一個還算簡單的控制題目，怎麼樣，有沒有人想上台解一下的？」
有微風吹過草坪，拂走天上的朵朵白雲。
和煦的陽光照射著黑板，吸引著所有老師同學們的目光。
他們有的抱胸審視著，有的不屑著，有的認真觀看著。
有的謎一樣的，沉默著的，故事你真的在聽嗎（）
黎默單手揣兜，雖無意耍帥，但帥的不談。
他輕輕在黑板上寫下第一個式子：
【dy/dx=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx】
「這個式子，有人稱之為流數，有人稱之為微分，但大主教在一百多年前提出過一個問題：這個作為分母的Δx，它到底是不是零……」
哈里森先生忽然有一種預感，黎默今天並不是有備而來這麼簡單……
在他身旁，坐著三位優秀的老師：
講授應用力學的沃爾特先生、教代數的凡斯先生，還有向來以挑剔著稱的古典幾何教師柯林斯。
三名老師對黎默提出的問題作出了不同的反應，但反應的底色是一致的：
——這小子，究竟想說什麼？
黎默接著道：「如果它是零，那麼在運算的第一步，我們憑什麼用一個零作為分母去進行除法？如果它不是零，那麼在推導的最後一步，我們憑什麼把它直接當作零捨棄掉？」
馬修舉手，起身道：「討論這個沒有意義吧，實際計算中答案永遠是正確的！」
他今天很活躍，他要抓住一切機會表現自己。
——萬一這就是組織給自己準備的裝逼機會呢！
「馬修同學說得對，答案是正確的，但依靠這種方式得出的正確，我覺得並不優雅，今天我會用純粹的代數不等式，給極限一個精確定義形式。」
黎默轉過身，抬起右手。
「我們設函數 f(x)在點x₀的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數ε……」
「……無論這個ε多么小，都存在一個正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x₀|<δ時，對應的函數值都滿足不等式|f(x)-A|<ε。」
「那麼，常數 A就叫做函數f(x)當x趨向於x₀時的極限。」
完整的數學表達如下：
【對於任意ε>0，存在δ>0，使得當0<|x-x₀|<δ時，恆有|f(x)-A|<ε】
寫完之後。
大部分學生表情茫然。
「這寫的是什麼東西？」
「看不懂……這怎麼算極限？」
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「都沒有畫切線，也沒有畫速度曲線，這到底在表達什麼？」
哈里森先生正在筆記本上飛快默寫、思考。
其他三位老師也認真了些，試圖跟上黎默的思路。
黎默覺得自己講的不算快，已經留了幾十秒鐘的時間給大家思考。
他想了想，還貼心的多解釋了一句：
「諸位，ε是挑戰者給出的誤差容限，挑戰者可以讓函數值與A的差距小於一千分之一，而證明者的任務，是交出一個區間半徑δ，只要在這個半徑內取值，誤差就絕不會超出挑戰者的要求，靜態的不等式替代模糊，這就是現代數學該有的嚴密性。」
黎默說完，覺得老師們應該怎麼都能聽懂了。
便繼續往下推演：
「接下來證明極限的局部有界性，已知lim(x→x₀)f(x)=A，我們取ε=1，則存在對應的δ> 0……」
絕對值不等拆解：【|f(x)|=|f(x)- A + A|≤|f(x)- A|+|A|< 1 +|A|】
黎默寫完，說道：
「由此，根據三角不等式，易得，函數f(x)在該去心鄰域內局部有界。」
他隨即劃下一道橫線。
準備進入下一節關於極限唯一性的證明。
台下的眾人這下是真懵逼了。
唯一能勉強跟上的凡斯老師如今也是愣愣地看著黑板。
怎麼就易得了？哪來的易得？
絕對值符號到底是怎麼跳到1+|A|的？
有一名數學科優等生也忍不住了，他舉起右手，聲音遲疑道：「抱歉……黎默同學，請稍等一下！」
黎默停下動作：「有什麼疑問嗎？」
優等生站起身，艱難地問道：「你剛才說……易得？這裡到底是怎麼得出來的？我不太理解……」
黎默愣了一下。
前世大一就會學的分析學入門的絕對值放縮。
對他來說確實是易得。
但在這個時代，顯然是超綱了。
黎默輕輕點了點頭：「哦，抱歉，這部分跳過了三步絕對值放縮，我重新展開講講。」
他拿起黑板擦，擦掉了那行簡寫。
「我們退回一步，利用絕對值三角不等式的性質，對於任意實數a和b，恆有|a + b|≤|a|+|b|。這裡我們令a=f(x)-A，令b=A……」
一步一步詳細拆解。
「若只討論去心鄰域，上界就是1+|A|；若函數在中心點x₀處本身也有定義，將它一併囊括進來，整個閉鄰域內的界便是M=max{|f(x₀)|，1+|A|}。」
「精彩……精彩！」
一片安靜中，哈里森先生忍不住起身驚呼！
學生們面面相覷。
大部分人都沒聽懂。
但是看老師都起來說精彩了……估計是正確的吧？
於是有人懵懵的開始鼓掌。
一有人鼓掌，其他人也趕緊跟上。
嘩啦啦的掌聲隨之響起一片。
馬修臉色不太好看。
——說好的讓自己裝逼呢？怎麼又讓黎默裝上了？
——這個神秘儀式是不是給錯人了呀？！
黎默看大家都鼓起掌，想來應該都聽懂了，便自然往下說：
「我們來看一個實際問題吧。」
「這是最近我在家裡的紡紗廠幫忙改良蒸汽機的時候，遇到的問題。」
這個年代的蒸汽機會有一個離心式飛球調速器。
兩個金屬球通過連杆懸掛在旋轉軸兩側。
隨著軸的轉速增加。
離心力驅動金屬球向外張開，進而通過槓桿聯動控制進氣閥門的開度。
「在蒙德爾港和各大紡織工廠的蒸汽機中，工人們常常面臨調速器飛球振盪的問題，在實際運轉中，調速器常常發生震顫，甚至導致蒸汽管道爆裂，對吧。」
機械科的幾名學生一聽這話打起精神來了。
這是他們日常實習中經常遇到的故障口牙！
「為什麼會出現這種情況？因為這應該是一個多自由度的動力學系統。」
黎默寫下了一個閉環攝動特徵方程：
【d³(Δθ)/dt³+a₁·d²(Δθ)/dt²+a₂·d(Δθ)/dt+a₃·(Δθ)=0】
「飛球開度微擾為Δθ，主軸角速度擾動在工作點附近線性展開，若我們要徹底消除飛球的自激振顫，使系統在紡紗機負荷突變後能夠漸近收斂回平衡態……」
「並且，要保證主軸轉速在衰減過程中的最大動態超調量不超過5%……」
「請根據該三次特徵代數方程，給出系統特徵根實部全部為負的充要條件，並由此計算出：在這幾個係數里的機械阻尼器係數，必須大於哪一個臨界閾值？」
寫完題目，黎默看向台下眾人：
「一個還算簡單的控制題目，怎麼樣，有沒有人想上台解一下的？」