第一百一十一章 射程之內
第111章 射程之內
「我也記得你。」
拉斯洛說，「你的預條件子證明我後來研究了，裡面那個譜界推導，我順著你的思路往下走了一段，發現可以推廣到非對稱矩陣。」
他從口袋裡掏出一張疊得方方正正的紙，展開。
上面是密密麻麻的推導，字跡清瘦而有力。
陸沉接過來看。
拉斯洛的推廣是對的—把不完整Cholesky分解的譜界理論從對稱正定矩陣推廣到了一般矩陣的不完全LU分解。
這個工作前世的文獻里要等到1990年代中期才有人完成。
而拉斯洛·科瓦奇，在莫斯科的賽場上看完陸沉的證明之後，自己把它往前推了關鍵的一步。
「你投了嗎？」陸沉問。
「投了，匈牙利科學院的期刊，正在審。」拉斯洛把紙收回去折好，「審稿意見回來以後，我會在致謝里寫你的名字。」
陸沉想說不用，但拉斯洛已經繼續往下說了。
「我明年要去普林斯頓讀本科。那邊有一個教授做計算數學的，研究方向跟這個很接近。」
他把紙放回口袋，「陸沉，你有沒有想過以後去哪裡讀書？」
普林斯頓。
前世拉斯洛·科瓦奇最終就是去了普林斯頓，在那裡成為計算複雜性理論的重要推動者。
這條時間線上，他比前世更早地拿到了入場券。
「還沒想好。」陸沉說。
拉斯洛點了點頭，沒有追問。
他拍了拍陸沉的肩膀。
「比賽結束以後，我把那篇論文的預印本給你一份。你幫我看一下第三章的誤差估計，我覺得那裡可能還有收緊的空間。」
說完他就走了，穿過走廊融入了匈牙利隊的人群里。
陸沉看著他的背影，想起莫斯科食堂里拉斯洛說的那句話—「數學不是被發明的，是被發現的。好的數學一直都在那裡，等著有人把它找出來。」
這個人，無論在莫斯科還是海德堡，無論在匈牙利科學院還是普林斯頓，他找數學的方式都是一樣的一找到一條路，往前推一步，然後回頭告訴同行的人：這裡可以走，你也來。
那天下午，各隊在駐地自由活動。
顧小北拉著宋知行去內卡河邊寄明信片，方磊和王雪松在宿舍里研究賽程安排，何巍不知去向。
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陸沉一個人走到海德堡大學數學系大樓門口。
那塊1546年的銅牌還在，下午的陽光從側面照過來，把銅牌上的字跡照得明暗分明。
他站在銅牌前面，忽然想起一件事。
索科洛夫1979年到1980年的兩篇綜述里，引用了海德堡大學一位數學家在1960年代做的工作。
關於預條件疊代法的早期探索。
那個德國數學家的名字，索科洛夫在論文裡提過，陸沉當時記在了便簽本上，但沒有深究。
現在他站在這棟大樓門口。
那個德國數學家，當年就是從這扇門裡進進出出的。
他推開門走進去。
走廊很安靜，大理石地面被無數雙腳磨得光滑如鏡，牆壁上掛著數學系歷史上著名教授的油畫肖像，每一幅下面都有一塊小銅牌，刻著名字和生卒年份。
他沿著走廊往裡走，油畫肖像從十八世紀的戴假髮紳士慢慢變成十九世紀的絡腮鬍學者，再變成二十世紀的黑白照片。
走到走廊盡頭的時候他停下來——最後一張照片上是一個頭髮蓬亂的中年人，戴著厚厚的黑框眼鏡，嘴角微微上揚。
照片下面的銅牌刻著：HelmutSchmidt，1925—1978，數值分析。
索科洛夫引用的就是他。
陸沉站在那張照片前面。
1978年，這個德國數學家去世。
同一年，他出生。
一條時間線收束，另一條時間線開啟。
他在那個開啟的節點上站了很久。
從數學系大樓出來的時候，他在門口遇見了何巍。
何巍坐在門口的台階上，面前攤著一疊草稿紙，膝蓋上放著一本從國內帶來的《代數學引論》。
他看到陸沉，把草稿紙往旁邊挪了挪，讓出一個位置。
「裡面有什麼？」何巍問。
「一條走廊，很多照片。」陸沉在他旁邊坐下來，「走廊盡頭有一個德國數學家的照片，1978年去世的。
何巍沉默了一會兒。
「1978年，你出生那年。」
「嗯。」
何巍把草稿紙翻到新的一頁。
「那你這回來德國，算是跟他打了個招呼。」
陸沉看著台階下面內卡河緩緩流動的水。
河面上天鵝還在，白得像雲朵。
對岸山坡上的城堡廢墟被下午的太陽照成暗紅色。
「算是。」他說。
七月六號，比賽日。
早上七點，海德堡大學的主教學樓前已經站滿了各代表隊的隊員。
三十多個國家和地區的年輕人穿著各自隊服，在教學樓前的廣場上分成一堆一堆的。
有人在最後翻筆記，有人靠著牆閉著眼睛，有人在小聲跟隊友討論最後一種可能考的題型。
六月底的德國清晨還有涼意，說話時呼出的白氣一團一團地散開。
中國隊在教學樓東側集合。
劉領隊把六個人叫到一起，沒有戰術布置，沒有押題，只說了一句話。
「這半年你們做的每一道題，寫的每一頁草稿紙，都是準備。現在已經沒有需要準備的東西了。進去，坐下，拿起筆，像你們在BJ閱覽室里那樣。」
七點四十五分，入場。
陸沉找到自己的座位—靠窗第二排，桌面上貼著他的參賽號碼和姓名拼音：LU
CHEN，CHINA。
陽光從窗戶照進來，落在桌面上，把那張小小的號碼牌照得發亮。
他把筆袋放在桌上—一支鋼筆，一支原子筆，一支鉛筆，一塊橡皮，一把圓規，一把直尺。
還有趙大江那本便簽本，翻到空白頁。
八點整。
鈴聲響起。
監考老師拆開密封的白色賽題冊，試卷沿著每一排往後傳。
紙張傳遞時發出的嘩嘩聲，和在莫斯科、在BJ集訓隊的無數次考試一模一樣。
陸沉接過試卷，平鋪在桌面上，把四個角撫平。
三道題。
四個半小時。
他低下頭，開始讀第一題。
窗外的內卡河在七月的陽光里緩緩流淌。
河面上的天鵝把頭埋進翅膀里，在水面上靜靜地漂著。
海德堡城堡的紅色廢墟在對岸的山坡上沉默地站立，像它已經站立了四百年那樣。
更遠處，歐洲大陸在清晨的光線里向著四面八方伸展往東是莫斯科，索科洛夫此刻大概正坐在西伯利亞分院那間堆滿資料的辦公室里，面前攤著EIbrus計算機的架構圖。
往東南是布達佩斯，拉斯洛那篇關於非對稱譜界的論文正在匈牙利科學院期刊的編輯桌上等待終審。
往西南是四川那個小縣城，周堯大概正坐在縣中的教室里，面前攤著從BJ寄回來的那份二次域證明。
往東北是長春，林楓大概正在機房那台長城0520前面，他寫的排序演示程序正在屏幕上用十六種顏色跑著，機房老師站在後面看。
往更東邊，BJ，中關村，鄒工和趙援朝他們正在把那台銀灰色文字處理機的詞組輸入法從原理變成產品。
再往東，集訓隊駐地，陳志遠今天早上應該又去閱覽室占了靠窗的那個位置，面前攤著那本封面只剩吉米兩個字的習題集。
所有的線都在這一刻匯聚到這張桌面上。
陸沉握住筆。
筆尖落在紙上。
那一刻，整個考場消失了。
旁邊的蘇聯選手翻了幾次試卷，身後的美國隊女生咳嗽了兩聲，窗外的內卡河上有一艘白色的遊船緩緩駛過，船上的遊客朝城堡揮手。
但這些記憶都是後來拼湊的。
在四個半小時裡面，他的世界裡只有三張紙和一支筆。
第一題，代數。
題干很短，短到讓人不安。
求證一個關於有限域上多項式不可約性的命題，條件給得極其吝嗇一隻有多項式的次數、係數所在的域、以及一個看起來和不可約性毫無關係的求和條件。
陸沉把題干讀了三遍。
不是讀不懂，是在找出題人藏起來的梯子。
彭老師在集訓隊說過，1M0的代數題從來不會給多餘條件，每一個條件都是一級台階，少踩一級就上不去。
他把三個條件列在草稿紙上：次數n，有限域Fq，求和條件。
然後在這三個條件之間畫箭頭。
從次數到有限域，箭頭上面寫著弗羅貝尼烏斯自同構。
從有限域到求和條件，箭頭上面寫著特徵的正指數和。
從求和條件回到次數，箭頭上面寫著他停住了。
箭頭畫不回去。
求和條件里藏著一個關於n的隱含同餘關係，這個關係如果不被激活，整個證明就會在第三步卡住。
他在草稿紙上把求和式展開，項一項地寫出來，寫滿了大半頁紙。
寫到第十七項的時候，規律浮出來了。
求和式的值在模p意義下與n的某個函數同餘。
這就是出題人藏起來的第三級台階。
他找到了。
證明的主體用了不到四十分鐘。
從弗羅貝尼烏斯自同構出發，把多項式的根在擴域中展開，用求和的同餘關係反推不可約因子的次數，最後用反證法收口。
寫完之後他檢查了一遍，確認每一步的條件都用上了彭老師說過，IMO的代數題，如果你有一個條件沒用上，那你一定做錯了。
三個條件全部用上了。
他翻到第二題。
第二題，組合幾何。
題干只有五行，配了一張圖——平面上一個由若干單位正方形拼成的區域，邊界是一條閉合的折線，要求在區域內部放置若干個點，滿足某種距離約束，並證明放置數量的最大值。
讀完題的時候陸沉的嘴角微微動了一下。
不是笑，是一種確認。
這道題的內核和他在BJ集訓隊黑板上現場構造的那個複合圖問題是同一類—表面上是幾何距離約束，實質上是一個圖的獨立數問題。
把幾何轉化為圖，把距離約束轉化為邊，把放置點的最大值轉化為圖的獨立集大小的下界。
他在莫斯科做過一次，在BJ又做了一次。
現在是第三次。
他在草稿紙上畫了一個示意圖。
把區域內的所有可能放置點按照網格離散化—這一步出題人已經幫他們做好了，正方形的單位本來就是天然的網格。
然後定義圖：頂點是網格點，如果兩個點之間的距離違反了題目給定的約束，就在它們之間連一條邊。
問題轉化為：求這個圖的最大獨立集。
圖的獨立數沒有通用的精確公式，但可以估計下界。
他用了圖蘭定理的一個變體——不是經典的禁止完全子圖，而是禁止某種特定子圖結構的極值問題。
這個變體是他之前在做圖蘭定理構造性算法時順手推出來的，沒有發表，只是記在了便簽本里。
沒想到在海德堡用上了。
估計出來的下界恰好等於題目要證的數值。
不是巧合，是出題人按照這個下界反推的題目。
他寫完了第二題的證明。
圖論轉化花了三頁紙，圖蘭變體的引理證明又花了將近兩頁。
整道題寫下來，草稿紙用了五頁，答捲紙用了三頁。
寫完之後他的手指微微發酸。
他把筆放下甩了甩手腕，然後拿起筆繼續。
第三題。
數論。
題干是整張試卷里最長的，占據了半頁紙。
定義一個關於素數分布的計數函數，給出一組複雜的參數條件，要求證明函數在參數趨於無窮時的漸近行為。
函數定義里嵌套了兩個求和號，一個連乘積，還有一個分段函數一分段的條件寫得極其隱蔽，藏在求和指標的取值範圍里。
陸沉讀完第一遍，沒有找到那個隱藏的分段條件。
他讀第二遍，把求和指標的每一個取值邊界都在草稿紙上寫出來，一個一個核對。
核對到第三個邊界時他發現了一當求和指標取某些特殊值時，連乘積的項數會退化為零，而這一點在題干里完全沒有明說，只用了一個「對任意m≥1」的表述輕輕帶過。
如果沒注意到這個退化，後面的漸近估計會把退化情形當成正常情形處理，主項係數就會多出一個因子，整個證明方向都會偏掉。
他把那個隱藏的分段條件用紅筆圈出來，在旁邊畫了一個大大的感嘆號。
彭老師說過，出題人埋陷阱的地方，就是你證明里必須單獨處理的分支。
然後他開始搭漸近估計的框架。
計數函數的變量替換，求和次序的交換，主項分離，餘項估計。
每一步都不難，但每一步都必須精確。
數論的漸近估計就像搭積木，中間有一塊歪了，最後搭出來的房子就一定會塌。
他搭得很慢，每一塊都反覆確認。
寫到餘項估計的時候他遇到了一個選擇。
餘項里有一個和式，可以用兩種方式處理：一種是傳統的阿貝爾求和，步驟標準但餘項邊界會松一點；另一種是把和式拆成算術函數的狄利克雷卷積，然後用佩龍公式反演。
第二種方法的餘項邊界更緊，但推導複雜度高出一大截，而且需要用到複變函數里的圍道積分超出了IMO考綱，但IMO從來不禁止使用高等工具，只要你用得對。
他猶豫了大約五秒鐘。
然後選了第二種。
不是因為他想炫技。
是因為第一種方法估計出來的餘項邊界，在參數趨於無窮時有一個邊界情況會溢出，雖然溢出量很小，在大部分評分標準下不會扣分。
但他知道那個溢出在那裡。
既然知道，就不能裝作不知道。
他開始寫佩龍公式的圍道積分。
積分路徑的選擇，極點留數的計算，餘項的分段估計。
這部分寫了將近四頁答捲紙，每一步的合法性都做了說明。
寫完之後他把主項和餘項合併，得到題目要求的漸近公式，分毫不差。
他放下筆。
四個半小時還剩下十二分鐘。
他把三道題的答卷從頭到尾檢查了一遍。
不是查錯，是查每一個可能被扣分的細節—一第一題的隱含條件是否在證明里明確激活了，第二題的圖轉化是否說明了網格離散化不會影響距離約束的嚴格性，第三題的退化分段是否作為單獨的分支處理了。
查完一遍，他又查了第二遍。
第二遍查到一半的時候鈴聲響了。
考試結束。
陸沉把試卷合上，放在桌角。
監考老師沿著每一排收卷，收到他這裡時是一個頭髮花白的德國老教授，白鬍子修剪得很整齊，和開幕式上致辭的主席有幾分神似。
老教授拿起陸沉的試卷時掃了一眼答捲紙的厚度一第三題的圍道積分寫了四頁，比其他選手厚出一截。
他的眉毛微微抬了一下，但沒有說話，把試卷放進檔案袋裡，繼續往下收。
走出考場的時候，海德堡的太陽已經升到頭頂了。
七月的德國中午不算太熱，陽光是一種淡淡的金色，落在教學樓的米黃色外牆上，把整棟樓照得像一塊巨大的蜂蜜蛋糕。
何巍在教學樓門口的台階上等他。
他手裡拿著草稿紙，眉頭皺著，看到陸沉出來，第一句話不是「你考得怎麼樣」，是」第三題那個退化分段，你處理了嗎？」
「處理了。」
何巍的眉頭鬆開了一瞬，然後又皺起來。
「我處理了，但我的餘項估計用的是阿貝爾求和，寫到一半發現邊界情況會溢出，來不及改了，只能在旁邊加了一段文字說明。」
「文字說明也算分。」
「算，但肯定沒有直接證出來高，」何巍把草稿紙折起來插進褲兜里，「不過那道題，就算扣我幾分我也認了，出得好，一個退化分段藏得那麼深，出題人是懂數論的。」
顧小北從考場裡走出來，臉色有點白。
她走到台階上坐下來，兩隻手撐在膝蓋上，深呼吸了三次。
「第二題，圖論轉化我走了一半，網格離散化之後建圖，但圖的獨立數下界估計我用的是常規的圖蘭定理，估計出來的界比題目要求的多了一項低階項，我為了消掉那一項多花了將近一個小時。」
「消掉了嗎？」陸沉問。
「消掉了，但第三題的時間不夠了，餘項估計只寫了一半，」她把臉埋進胳膊里，聲音悶悶的，「我第三題會做的，那道題我會做的。」
沒有人說話。
台階上安靜了一會兒，然後王雪松從考場裡走出來了。
他臉上沒什麼表情，走到台階旁邊站定，從口袋裡掏出一顆大白兔奶糖，剝開糖紙塞進嘴裡。
嚼了幾下之後他說：「第一題，弗羅貝尼烏斯自同構，第二題，圖蘭變體，第三題，佩龍公式，三道題，三種工具，全在彭老師押的範圍內。
「我也記得你。」
拉斯洛說，「你的預條件子證明我後來研究了，裡面那個譜界推導，我順著你的思路往下走了一段，發現可以推廣到非對稱矩陣。」
他從口袋裡掏出一張疊得方方正正的紙，展開。
上面是密密麻麻的推導，字跡清瘦而有力。
陸沉接過來看。
拉斯洛的推廣是對的—把不完整Cholesky分解的譜界理論從對稱正定矩陣推廣到了一般矩陣的不完全LU分解。
這個工作前世的文獻里要等到1990年代中期才有人完成。
而拉斯洛·科瓦奇，在莫斯科的賽場上看完陸沉的證明之後，自己把它往前推了關鍵的一步。
「你投了嗎？」陸沉問。
「投了，匈牙利科學院的期刊，正在審。」拉斯洛把紙收回去折好，「審稿意見回來以後，我會在致謝里寫你的名字。」
陸沉想說不用，但拉斯洛已經繼續往下說了。
「我明年要去普林斯頓讀本科。那邊有一個教授做計算數學的，研究方向跟這個很接近。」
他把紙放回口袋，「陸沉，你有沒有想過以後去哪裡讀書？」
普林斯頓。
前世拉斯洛·科瓦奇最終就是去了普林斯頓，在那裡成為計算複雜性理論的重要推動者。
這條時間線上，他比前世更早地拿到了入場券。
「還沒想好。」陸沉說。
拉斯洛點了點頭，沒有追問。
他拍了拍陸沉的肩膀。
「比賽結束以後，我把那篇論文的預印本給你一份。你幫我看一下第三章的誤差估計，我覺得那裡可能還有收緊的空間。」
說完他就走了，穿過走廊融入了匈牙利隊的人群里。
陸沉看著他的背影，想起莫斯科食堂里拉斯洛說的那句話—「數學不是被發明的，是被發現的。好的數學一直都在那裡，等著有人把它找出來。」
這個人，無論在莫斯科還是海德堡，無論在匈牙利科學院還是普林斯頓，他找數學的方式都是一樣的一找到一條路，往前推一步，然後回頭告訴同行的人：這裡可以走，你也來。
那天下午，各隊在駐地自由活動。
顧小北拉著宋知行去內卡河邊寄明信片，方磊和王雪松在宿舍里研究賽程安排，何巍不知去向。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問 TW 看書網解悶好，𝗌𝗁𝗎.𝗍𝗐超順暢 網站，觀看最快的章節更新）
陸沉一個人走到海德堡大學數學系大樓門口。
那塊1546年的銅牌還在，下午的陽光從側面照過來，把銅牌上的字跡照得明暗分明。
他站在銅牌前面，忽然想起一件事。
索科洛夫1979年到1980年的兩篇綜述里，引用了海德堡大學一位數學家在1960年代做的工作。
關於預條件疊代法的早期探索。
那個德國數學家的名字，索科洛夫在論文裡提過，陸沉當時記在了便簽本上，但沒有深究。
現在他站在這棟大樓門口。
那個德國數學家，當年就是從這扇門裡進進出出的。
他推開門走進去。
走廊很安靜，大理石地面被無數雙腳磨得光滑如鏡，牆壁上掛著數學系歷史上著名教授的油畫肖像，每一幅下面都有一塊小銅牌，刻著名字和生卒年份。
他沿著走廊往裡走，油畫肖像從十八世紀的戴假髮紳士慢慢變成十九世紀的絡腮鬍學者，再變成二十世紀的黑白照片。
走到走廊盡頭的時候他停下來——最後一張照片上是一個頭髮蓬亂的中年人，戴著厚厚的黑框眼鏡，嘴角微微上揚。
照片下面的銅牌刻著：HelmutSchmidt，1925—1978，數值分析。
索科洛夫引用的就是他。
陸沉站在那張照片前面。
1978年，這個德國數學家去世。
同一年，他出生。
一條時間線收束，另一條時間線開啟。
他在那個開啟的節點上站了很久。
從數學系大樓出來的時候，他在門口遇見了何巍。
何巍坐在門口的台階上，面前攤著一疊草稿紙，膝蓋上放著一本從國內帶來的《代數學引論》。
他看到陸沉，把草稿紙往旁邊挪了挪，讓出一個位置。
「裡面有什麼？」何巍問。
「一條走廊，很多照片。」陸沉在他旁邊坐下來，「走廊盡頭有一個德國數學家的照片，1978年去世的。
何巍沉默了一會兒。
「1978年，你出生那年。」
「嗯。」
何巍把草稿紙翻到新的一頁。
「那你這回來德國，算是跟他打了個招呼。」
陸沉看著台階下面內卡河緩緩流動的水。
河面上天鵝還在，白得像雲朵。
對岸山坡上的城堡廢墟被下午的太陽照成暗紅色。
「算是。」他說。
七月六號，比賽日。
早上七點，海德堡大學的主教學樓前已經站滿了各代表隊的隊員。
三十多個國家和地區的年輕人穿著各自隊服，在教學樓前的廣場上分成一堆一堆的。
有人在最後翻筆記，有人靠著牆閉著眼睛，有人在小聲跟隊友討論最後一種可能考的題型。
六月底的德國清晨還有涼意，說話時呼出的白氣一團一團地散開。
中國隊在教學樓東側集合。
劉領隊把六個人叫到一起，沒有戰術布置，沒有押題，只說了一句話。
「這半年你們做的每一道題，寫的每一頁草稿紙，都是準備。現在已經沒有需要準備的東西了。進去，坐下，拿起筆，像你們在BJ閱覽室里那樣。」
七點四十五分，入場。
陸沉找到自己的座位—靠窗第二排，桌面上貼著他的參賽號碼和姓名拼音：LU
CHEN，CHINA。
陽光從窗戶照進來，落在桌面上，把那張小小的號碼牌照得發亮。
他把筆袋放在桌上—一支鋼筆，一支原子筆，一支鉛筆，一塊橡皮，一把圓規，一把直尺。
還有趙大江那本便簽本，翻到空白頁。
八點整。
鈴聲響起。
監考老師拆開密封的白色賽題冊，試卷沿著每一排往後傳。
紙張傳遞時發出的嘩嘩聲，和在莫斯科、在BJ集訓隊的無數次考試一模一樣。
陸沉接過試卷，平鋪在桌面上，把四個角撫平。
三道題。
四個半小時。
他低下頭，開始讀第一題。
窗外的內卡河在七月的陽光里緩緩流淌。
河面上的天鵝把頭埋進翅膀里，在水面上靜靜地漂著。
海德堡城堡的紅色廢墟在對岸的山坡上沉默地站立，像它已經站立了四百年那樣。
更遠處，歐洲大陸在清晨的光線里向著四面八方伸展往東是莫斯科，索科洛夫此刻大概正坐在西伯利亞分院那間堆滿資料的辦公室里，面前攤著EIbrus計算機的架構圖。
往東南是布達佩斯，拉斯洛那篇關於非對稱譜界的論文正在匈牙利科學院期刊的編輯桌上等待終審。
往西南是四川那個小縣城，周堯大概正坐在縣中的教室里，面前攤著從BJ寄回來的那份二次域證明。
往東北是長春，林楓大概正在機房那台長城0520前面，他寫的排序演示程序正在屏幕上用十六種顏色跑著，機房老師站在後面看。
往更東邊，BJ，中關村，鄒工和趙援朝他們正在把那台銀灰色文字處理機的詞組輸入法從原理變成產品。
再往東，集訓隊駐地，陳志遠今天早上應該又去閱覽室占了靠窗的那個位置，面前攤著那本封面只剩吉米兩個字的習題集。
所有的線都在這一刻匯聚到這張桌面上。
陸沉握住筆。
筆尖落在紙上。
那一刻，整個考場消失了。
旁邊的蘇聯選手翻了幾次試卷，身後的美國隊女生咳嗽了兩聲，窗外的內卡河上有一艘白色的遊船緩緩駛過，船上的遊客朝城堡揮手。
但這些記憶都是後來拼湊的。
在四個半小時裡面，他的世界裡只有三張紙和一支筆。
第一題，代數。
題干很短，短到讓人不安。
求證一個關於有限域上多項式不可約性的命題，條件給得極其吝嗇一隻有多項式的次數、係數所在的域、以及一個看起來和不可約性毫無關係的求和條件。
陸沉把題干讀了三遍。
不是讀不懂，是在找出題人藏起來的梯子。
彭老師在集訓隊說過，1M0的代數題從來不會給多餘條件，每一個條件都是一級台階，少踩一級就上不去。
他把三個條件列在草稿紙上：次數n，有限域Fq，求和條件。
然後在這三個條件之間畫箭頭。
從次數到有限域，箭頭上面寫著弗羅貝尼烏斯自同構。
從有限域到求和條件，箭頭上面寫著特徵的正指數和。
從求和條件回到次數，箭頭上面寫著他停住了。
箭頭畫不回去。
求和條件里藏著一個關於n的隱含同餘關係，這個關係如果不被激活，整個證明就會在第三步卡住。
他在草稿紙上把求和式展開，項一項地寫出來，寫滿了大半頁紙。
寫到第十七項的時候，規律浮出來了。
求和式的值在模p意義下與n的某個函數同餘。
這就是出題人藏起來的第三級台階。
他找到了。
證明的主體用了不到四十分鐘。
從弗羅貝尼烏斯自同構出發，把多項式的根在擴域中展開，用求和的同餘關係反推不可約因子的次數，最後用反證法收口。
寫完之後他檢查了一遍，確認每一步的條件都用上了彭老師說過，IMO的代數題，如果你有一個條件沒用上，那你一定做錯了。
三個條件全部用上了。
他翻到第二題。
第二題，組合幾何。
題干只有五行，配了一張圖——平面上一個由若干單位正方形拼成的區域，邊界是一條閉合的折線，要求在區域內部放置若干個點，滿足某種距離約束，並證明放置數量的最大值。
讀完題的時候陸沉的嘴角微微動了一下。
不是笑，是一種確認。
這道題的內核和他在BJ集訓隊黑板上現場構造的那個複合圖問題是同一類—表面上是幾何距離約束，實質上是一個圖的獨立數問題。
把幾何轉化為圖，把距離約束轉化為邊，把放置點的最大值轉化為圖的獨立集大小的下界。
他在莫斯科做過一次，在BJ又做了一次。
現在是第三次。
他在草稿紙上畫了一個示意圖。
把區域內的所有可能放置點按照網格離散化—這一步出題人已經幫他們做好了，正方形的單位本來就是天然的網格。
然後定義圖：頂點是網格點，如果兩個點之間的距離違反了題目給定的約束，就在它們之間連一條邊。
問題轉化為：求這個圖的最大獨立集。
圖的獨立數沒有通用的精確公式，但可以估計下界。
他用了圖蘭定理的一個變體——不是經典的禁止完全子圖，而是禁止某種特定子圖結構的極值問題。
這個變體是他之前在做圖蘭定理構造性算法時順手推出來的，沒有發表，只是記在了便簽本里。
沒想到在海德堡用上了。
估計出來的下界恰好等於題目要證的數值。
不是巧合，是出題人按照這個下界反推的題目。
他寫完了第二題的證明。
圖論轉化花了三頁紙，圖蘭變體的引理證明又花了將近兩頁。
整道題寫下來，草稿紙用了五頁，答捲紙用了三頁。
寫完之後他的手指微微發酸。
他把筆放下甩了甩手腕，然後拿起筆繼續。
第三題。
數論。
題干是整張試卷里最長的，占據了半頁紙。
定義一個關於素數分布的計數函數，給出一組複雜的參數條件，要求證明函數在參數趨於無窮時的漸近行為。
函數定義里嵌套了兩個求和號，一個連乘積，還有一個分段函數一分段的條件寫得極其隱蔽，藏在求和指標的取值範圍里。
陸沉讀完第一遍，沒有找到那個隱藏的分段條件。
他讀第二遍，把求和指標的每一個取值邊界都在草稿紙上寫出來，一個一個核對。
核對到第三個邊界時他發現了一當求和指標取某些特殊值時，連乘積的項數會退化為零，而這一點在題干里完全沒有明說，只用了一個「對任意m≥1」的表述輕輕帶過。
如果沒注意到這個退化，後面的漸近估計會把退化情形當成正常情形處理，主項係數就會多出一個因子，整個證明方向都會偏掉。
他把那個隱藏的分段條件用紅筆圈出來，在旁邊畫了一個大大的感嘆號。
彭老師說過，出題人埋陷阱的地方，就是你證明里必須單獨處理的分支。
然後他開始搭漸近估計的框架。
計數函數的變量替換，求和次序的交換，主項分離，餘項估計。
每一步都不難，但每一步都必須精確。
數論的漸近估計就像搭積木，中間有一塊歪了，最後搭出來的房子就一定會塌。
他搭得很慢，每一塊都反覆確認。
寫到餘項估計的時候他遇到了一個選擇。
餘項里有一個和式，可以用兩種方式處理：一種是傳統的阿貝爾求和，步驟標準但餘項邊界會松一點；另一種是把和式拆成算術函數的狄利克雷卷積，然後用佩龍公式反演。
第二種方法的餘項邊界更緊，但推導複雜度高出一大截，而且需要用到複變函數里的圍道積分超出了IMO考綱，但IMO從來不禁止使用高等工具，只要你用得對。
他猶豫了大約五秒鐘。
然後選了第二種。
不是因為他想炫技。
是因為第一種方法估計出來的餘項邊界，在參數趨於無窮時有一個邊界情況會溢出，雖然溢出量很小，在大部分評分標準下不會扣分。
但他知道那個溢出在那裡。
既然知道，就不能裝作不知道。
他開始寫佩龍公式的圍道積分。
積分路徑的選擇，極點留數的計算，餘項的分段估計。
這部分寫了將近四頁答捲紙，每一步的合法性都做了說明。
寫完之後他把主項和餘項合併，得到題目要求的漸近公式，分毫不差。
他放下筆。
四個半小時還剩下十二分鐘。
他把三道題的答卷從頭到尾檢查了一遍。
不是查錯，是查每一個可能被扣分的細節—一第一題的隱含條件是否在證明里明確激活了，第二題的圖轉化是否說明了網格離散化不會影響距離約束的嚴格性，第三題的退化分段是否作為單獨的分支處理了。
查完一遍，他又查了第二遍。
第二遍查到一半的時候鈴聲響了。
考試結束。
陸沉把試卷合上，放在桌角。
監考老師沿著每一排收卷，收到他這裡時是一個頭髮花白的德國老教授，白鬍子修剪得很整齊，和開幕式上致辭的主席有幾分神似。
老教授拿起陸沉的試卷時掃了一眼答捲紙的厚度一第三題的圍道積分寫了四頁，比其他選手厚出一截。
他的眉毛微微抬了一下，但沒有說話，把試卷放進檔案袋裡，繼續往下收。
走出考場的時候，海德堡的太陽已經升到頭頂了。
七月的德國中午不算太熱，陽光是一種淡淡的金色，落在教學樓的米黃色外牆上，把整棟樓照得像一塊巨大的蜂蜜蛋糕。
何巍在教學樓門口的台階上等他。
他手裡拿著草稿紙，眉頭皺著，看到陸沉出來，第一句話不是「你考得怎麼樣」，是」第三題那個退化分段，你處理了嗎？」
「處理了。」
何巍的眉頭鬆開了一瞬，然後又皺起來。
「我處理了，但我的餘項估計用的是阿貝爾求和，寫到一半發現邊界情況會溢出，來不及改了，只能在旁邊加了一段文字說明。」
「文字說明也算分。」
「算，但肯定沒有直接證出來高，」何巍把草稿紙折起來插進褲兜里，「不過那道題，就算扣我幾分我也認了，出得好，一個退化分段藏得那麼深，出題人是懂數論的。」
顧小北從考場裡走出來，臉色有點白。
她走到台階上坐下來，兩隻手撐在膝蓋上，深呼吸了三次。
「第二題，圖論轉化我走了一半，網格離散化之後建圖，但圖的獨立數下界估計我用的是常規的圖蘭定理，估計出來的界比題目要求的多了一項低階項，我為了消掉那一項多花了將近一個小時。」
「消掉了嗎？」陸沉問。
「消掉了，但第三題的時間不夠了，餘項估計只寫了一半，」她把臉埋進胳膊里，聲音悶悶的，「我第三題會做的，那道題我會做的。」
沒有人說話。
台階上安靜了一會兒，然後王雪松從考場裡走出來了。
他臉上沒什麼表情，走到台階旁邊站定，從口袋裡掏出一顆大白兔奶糖，剝開糖紙塞進嘴裡。
嚼了幾下之後他說：「第一題，弗羅貝尼烏斯自同構，第二題，圖蘭變體，第三題，佩龍公式，三道題，三種工具，全在彭老師押的範圍內。