第十四章 就是你小子考了滿分?
其實經過這麼多天的學習，就算不看系統給的答案，他對這個問題也不算是完全沒有思路。
在2003年前，想要解決這個問題還是十分困難的。但是在這一年，Cohn和Elkies找到了一個方法，可以通過構造一個函數來計算球堆積的密度上限。
使用這個方法，他們將八維球的上界壓縮到了猜測解的1.000001倍。從數值上看，兩者只相差百萬分之一，但是對於數學來說，這和相差一百倍並沒有什麼區別。
現在吳黔要做的工作，就是把這百萬分之一的距離徹底消除。
這個輔助函數之所以難找，就是因為它需要滿足許多變態的性質：首先它自身需要有很多特殊零點，其次，其傅立葉變換也需要滿足這些點為零點。
舉個例子，這就像是設計一把鑰匙，不僅要求它能打開一把鎖，還要求將它扔進一個會徹底重組這把鑰匙的機器中，然後要求這把新的鑰匙依舊能打開原來的鎖。
雖然世界之大，無奇不有，但是真的想要找到這樣的函數，還是十分困難的。
而這份證明最神的地方，就是利用了高斯函數在傅立葉變換中的對稱性和數論中模形式的對稱性。
這兩種函數單獨看過去，雖然都擁有獨特的對稱性，但是依舊分屬於毫不相干的兩個領域。
但是一旦組合在一起，它們就像兩個嚴絲合縫的齒輪，死死地咬在一起。
「我們構造，g(x)=πi/8640 a(x)+i/240π b(x)，其中a、b分別為滿足：a'=a， b'=-b，其中a'b'為他們的傅立葉變換……
因此，該函數滿足Cohn-Elkies性質，且其給出的上界與E8所給值相同。可以證明，E8為八維球堆積問題的解。」
放下手中的筆，吳黔看著面前寫的滿滿當當的A4紙，露出了笑容。
「沒想到有朝一日，我還能寫出純數學的東西……雖然有點作弊的嫌疑。」
整理了一下草稿紙，吳黔掏出了電腦，準備把證明整理成論文的形式。
雖然上一世沒有寫過數學論文，但是物理的論文他還是寫過不少的。
打開LaTex，熟練地打出論文標題：「The Sphere Packing Problem in Eight Dimensions」，翻譯成中文就是《八維空間中的球堆積問題》。
樸實無華。
接下來是摘要部分，憑藉著上一世寫論文的經驗和不錯的英文功底，吳黔直接寫道：
「本文證明E8格給出了八維歐式空間中全等球的最密堆積，通過構造一個具有特定傅立葉分析性質的最優輔助函數，我們得到了八維球堆積問題中精確的線性規劃上界
……因此，無論周期性還是非周期性的八維球堆積，其密度均不可能超過E8。」
不過這部分倒是讓吳黔有點傷腦筋。雖說上一世看過不少數學論文，但是真要讓他嚴謹的從頭到尾寫下來一篇論文，那就不太容易了。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問 TW 看書網解無聊，𝒔𝒉𝒖.𝒕𝒘超實用 網站，觀看最快的章節更新）
舉個例子，某個引理在物理學家看來可能是很顯然的，但是數學家卻要花很長的篇幅將其證明出來；而有一些在物理學家看來很重要的東西，數學家卻並不怎麼在意。
硬著頭皮寫了大半篇，吳黔終於是對自己的數學寫作能力舉了白旗。
思考了一陣，他突然想到自己的高數老師好像研究方向就是數論……不如把論文給他改一改？
有了這個想法，吳黔收拾好東西，向著老教授的辦公室出發。
他的高數教授姓唐，是一位數學學院德高望重的老教授。素來以嚴肅認真著稱。這一點從他把期中考試的試卷出的很難上就可見一斑。
這位教授其實已經退休了，是學院將他返聘回來的。因此老人家現在也不怎麼帶數學院的專業課，頂多上上高數、線代這種公共課。
走到數學院樓，吳黔問了問門口的保安，終於找到了老師的辦公室。
禮貌的敲了敲門，吳黔推門走了進去。
「老師好，我是14級物理學院8班的吳黔，有點問題想請教您……」
話還沒說完，就被老教授略帶一絲好奇的話語打斷。
「哦？就是你小子高數期中考了滿分？能考這個分數，高數裡面還有能難得到你的東西？」
看來和傳聞不同，高數卷子教授是有親自查閱的。或者說，吳黔這一份，他是有親自看過的。
尷尬的摸了摸頭，吳黔回答道：「對，就是我。但是我今天不是問高數相關的問題的。」
挑了挑眉，唐文柏眼中的好奇更勝了些許。
「那你有什麼問題？」
「是這樣的，上課的時候我聽您講過球的最密堆積問題。感覺很有意思，於是就去圖書館查了查資料。
「之後我對八維的情形很感興趣，就嘗試寫了點東西，想請您看一看。」
搬出早就想好的藉口，吳黔沒直接說自己解決了這個問題，因為這樣太過於自傲。
請教別人的時候，最好還是少擺些架子。
輕輕點了點頭，沒有評價吳黔的做法，唐文柏只是從他的手中接過了寫滿了算式的稿紙。
時間一點點過去，唐文柏的神色也變得越來越認真。十分鐘後，他終於翻過了第一頁，左手輕輕敲擊著桌面，老先生不知不覺已經拿起水筆開始演算了起來。
終於，四十分鐘過去，摘下厚重的老花鏡，他用雙手搓了搓有點疲憊的雙眼。
半晌，長出一口氣，嘆道：「江山代有才人出啊！」
隨後，他認真地看向吳黔，問：「這些東西，當真是你自己寫出來的？」
「是的教授，這些都是我在圖書館裡面寫的。其實我很早之前就在思考這個問題了，只不過這幾天突然來了靈感。」
「嗯……這裡，」教授突然指向草稿紙，「這個本徵函數，你是怎麼想到的？」
吳黔看向稿紙。由於是自己的思路，他很快便答了上來。
點了點頭，教授又問了他幾個問題，都得到了滿意的回覆。
沉默了一會兒，唐文柏嘆了口氣。
「這些東西我暫時沒法確認是不是正確的……不過，如果這些引理都沒有漏洞，」他停頓了片刻，「那這百萬分之一，怕是真被你給抹掉了！」
看向吳黔，教授繼續說道：
「這樣，你今天下午先留在這裡，我和你一起，看看這裡面還有沒有沒注意的細節！不過，我這個老頭子看了幾十年證明，至少到現在，沒看出什麼問題來！」
這麼多年，難得遇上一個如此奇才，唐文柏自然不會放過，當即就將吳黔留了下來。
「來來來，你先坐……小劉啊，給你師弟倒杯水。」
那個被叫做小劉的人，約莫二十出頭，看上去像是唐文柏帶的研究生。
小劉有些懵逼的看著自己導師，又看了看吳黔。
自己什麼時候多了個物院大一的師弟？
在2003年前，想要解決這個問題還是十分困難的。但是在這一年，Cohn和Elkies找到了一個方法，可以通過構造一個函數來計算球堆積的密度上限。
使用這個方法，他們將八維球的上界壓縮到了猜測解的1.000001倍。從數值上看，兩者只相差百萬分之一，但是對於數學來說，這和相差一百倍並沒有什麼區別。
現在吳黔要做的工作，就是把這百萬分之一的距離徹底消除。
這個輔助函數之所以難找，就是因為它需要滿足許多變態的性質：首先它自身需要有很多特殊零點，其次，其傅立葉變換也需要滿足這些點為零點。
舉個例子，這就像是設計一把鑰匙，不僅要求它能打開一把鎖，還要求將它扔進一個會徹底重組這把鑰匙的機器中，然後要求這把新的鑰匙依舊能打開原來的鎖。
雖然世界之大，無奇不有，但是真的想要找到這樣的函數，還是十分困難的。
而這份證明最神的地方，就是利用了高斯函數在傅立葉變換中的對稱性和數論中模形式的對稱性。
這兩種函數單獨看過去，雖然都擁有獨特的對稱性，但是依舊分屬於毫不相干的兩個領域。
但是一旦組合在一起，它們就像兩個嚴絲合縫的齒輪，死死地咬在一起。
「我們構造，g(x)=πi/8640 a(x)+i/240π b(x)，其中a、b分別為滿足：a'=a， b'=-b，其中a'b'為他們的傅立葉變換……
因此，該函數滿足Cohn-Elkies性質，且其給出的上界與E8所給值相同。可以證明，E8為八維球堆積問題的解。」
放下手中的筆，吳黔看著面前寫的滿滿當當的A4紙，露出了笑容。
「沒想到有朝一日，我還能寫出純數學的東西……雖然有點作弊的嫌疑。」
整理了一下草稿紙，吳黔掏出了電腦，準備把證明整理成論文的形式。
雖然上一世沒有寫過數學論文，但是物理的論文他還是寫過不少的。
打開LaTex，熟練地打出論文標題：「The Sphere Packing Problem in Eight Dimensions」，翻譯成中文就是《八維空間中的球堆積問題》。
樸實無華。
接下來是摘要部分，憑藉著上一世寫論文的經驗和不錯的英文功底，吳黔直接寫道：
「本文證明E8格給出了八維歐式空間中全等球的最密堆積，通過構造一個具有特定傅立葉分析性質的最優輔助函數，我們得到了八維球堆積問題中精確的線性規劃上界
……因此，無論周期性還是非周期性的八維球堆積，其密度均不可能超過E8。」
不過這部分倒是讓吳黔有點傷腦筋。雖說上一世看過不少數學論文，但是真要讓他嚴謹的從頭到尾寫下來一篇論文，那就不太容易了。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問 TW 看書網解無聊，𝒔𝒉𝒖.𝒕𝒘超實用 網站，觀看最快的章節更新）
舉個例子，某個引理在物理學家看來可能是很顯然的，但是數學家卻要花很長的篇幅將其證明出來；而有一些在物理學家看來很重要的東西，數學家卻並不怎麼在意。
硬著頭皮寫了大半篇，吳黔終於是對自己的數學寫作能力舉了白旗。
思考了一陣，他突然想到自己的高數老師好像研究方向就是數論……不如把論文給他改一改？
有了這個想法，吳黔收拾好東西，向著老教授的辦公室出發。
他的高數教授姓唐，是一位數學學院德高望重的老教授。素來以嚴肅認真著稱。這一點從他把期中考試的試卷出的很難上就可見一斑。
這位教授其實已經退休了，是學院將他返聘回來的。因此老人家現在也不怎麼帶數學院的專業課，頂多上上高數、線代這種公共課。
走到數學院樓，吳黔問了問門口的保安，終於找到了老師的辦公室。
禮貌的敲了敲門，吳黔推門走了進去。
「老師好，我是14級物理學院8班的吳黔，有點問題想請教您……」
話還沒說完，就被老教授略帶一絲好奇的話語打斷。
「哦？就是你小子高數期中考了滿分？能考這個分數，高數裡面還有能難得到你的東西？」
看來和傳聞不同，高數卷子教授是有親自查閱的。或者說，吳黔這一份，他是有親自看過的。
尷尬的摸了摸頭，吳黔回答道：「對，就是我。但是我今天不是問高數相關的問題的。」
挑了挑眉，唐文柏眼中的好奇更勝了些許。
「那你有什麼問題？」
「是這樣的，上課的時候我聽您講過球的最密堆積問題。感覺很有意思，於是就去圖書館查了查資料。
「之後我對八維的情形很感興趣，就嘗試寫了點東西，想請您看一看。」
搬出早就想好的藉口，吳黔沒直接說自己解決了這個問題，因為這樣太過於自傲。
請教別人的時候，最好還是少擺些架子。
輕輕點了點頭，沒有評價吳黔的做法，唐文柏只是從他的手中接過了寫滿了算式的稿紙。
時間一點點過去，唐文柏的神色也變得越來越認真。十分鐘後，他終於翻過了第一頁，左手輕輕敲擊著桌面，老先生不知不覺已經拿起水筆開始演算了起來。
終於，四十分鐘過去，摘下厚重的老花鏡，他用雙手搓了搓有點疲憊的雙眼。
半晌，長出一口氣，嘆道：「江山代有才人出啊！」
隨後，他認真地看向吳黔，問：「這些東西，當真是你自己寫出來的？」
「是的教授，這些都是我在圖書館裡面寫的。其實我很早之前就在思考這個問題了，只不過這幾天突然來了靈感。」
「嗯……這裡，」教授突然指向草稿紙，「這個本徵函數，你是怎麼想到的？」
吳黔看向稿紙。由於是自己的思路，他很快便答了上來。
點了點頭，教授又問了他幾個問題，都得到了滿意的回覆。
沉默了一會兒，唐文柏嘆了口氣。
「這些東西我暫時沒法確認是不是正確的……不過，如果這些引理都沒有漏洞，」他停頓了片刻，「那這百萬分之一，怕是真被你給抹掉了！」
看向吳黔，教授繼續說道：
「這樣，你今天下午先留在這裡，我和你一起，看看這裡面還有沒有沒注意的細節！不過，我這個老頭子看了幾十年證明，至少到現在，沒看出什麼問題來！」
這麼多年，難得遇上一個如此奇才，唐文柏自然不會放過，當即就將吳黔留了下來。
「來來來，你先坐……小劉啊，給你師弟倒杯水。」
那個被叫做小劉的人，約莫二十出頭，看上去像是唐文柏帶的研究生。
小劉有些懵逼的看著自己導師，又看了看吳黔。
自己什麼時候多了個物院大一的師弟？