第97章 倫敦！格拉斯哥！
飛機降落在格拉斯哥國際機場時，是當地時間七月二十日的清晨。
林遠揉了揉眼睛，透過舷窗看向外面。天色灰濛濛的，飄著細雨。跑道兩旁是大片的草坪，遠處的候機樓是典型的現代建築，玻璃幕牆反射著暗淡的天光。
「這就是英國啊。」旁邊的周浩然伸了個懶腰，「比我想像的要冷。」
「你以為英國是熱帶？」劉浩然笑著接話，「格拉斯哥在蘇格蘭，緯度和漠河差不多。」
林遠沒說話，只是默默收拾自己的隨身物品。他的行李很簡單——一個背包，裝著一周的衣服和幾本筆記本。成大給的那四萬塊錢已經換成了旅行支票，縫在背包夾層里，貼著後背。
國家隊六人魚貫走出廊橋，迎面是潮濕而清冽的空氣。
格拉斯哥國際機場不大，但秩序井然。喻教練舉著接機牌，早有一位當地的華人留學生在出口等候——是上一屆IMO的銀牌選手，現在在格拉斯哥大學讀數學，這次主動請纓來做志願者。
「喻老師！這邊走，大巴已經在等了。」
喻教練點點頭，帶著六人上了一輛白色麵包車。窗外是典型的英國城市景觀——維多利亞式的紅砂岩建築，被雨水洗得有些斑駁；街道不寬，兩旁停滿了汽車；天色陰沉，隨時可能落下陣雨。
「格拉斯哥是英國第三大城市，」華人留學生一邊開車一邊介紹，「工業革命的發源地之一。克萊德河從城邊流過，以前是造船業的中心……」
林遠看著窗外，默默聽著。克萊德河灰藍色的水面在雨幕中若隱若現，幾隻海鷗在河面上盤旋。這座城市有一種沉甸甸的歷史感，和北京完全不同。
宿舍區在格拉斯哥大學附近，是一棟維多利亞風格的公寓樓。房間不大，但乾淨整潔，兩人一間。林遠和周浩然分在一屋。
喻教練在大堂集合全隊，開了最後一次賽前會。
「從現在起到考試結束，一切按計劃進行。」喻教練的聲音沉穩有力，「明天開幕式，後天適應場地，大後天下午自由活動，最後一天正式考試。這幾天好好休息，調整時差，不要劇烈運動，不要吃不乾淨的東西。」
「有問題嗎？」
沒人說話。
喻教練點點頭：「散了。明天早上七點集合。」
開幕式是在格拉斯哥市政廳舉行的。
穿著格子裙的風笛手吹奏著古老的蘇格蘭民謠，各國代表隊依次入場。中國隊排在中間偏前的位置，六人清一色的深藍色西裝，胸前別著五星紅旗的徽章。
全場響起掌聲。林遠抬起頭，看見主席台上坐著幾位頭髮花白的數學家——那是歷屆IMO的金牌得主，如今已是各自領域的權威。
「他們也曾坐在觀眾席上，」林遠在心裡想，「那時候他們也是十六歲，也是來參加IMO的。」
開幕式結束後，各國選手在市政廳外的廣場上交流。林遠用英語和幾個北歐選手聊了幾句，還和一個波蘭小哥交換了郵箱地址——當然，那個郵箱是給小艾用的，他自己並沒有電子郵箱。
傍晚回宿舍的路上，周浩然突然問：「林遠，你緊張嗎？」
「還好。」林遠想了想，「你呢？」
「說不緊張是假的。」周浩然坦誠地說，「這是我第二次參賽了，去年沒拿到滿分，一直憋著一口氣。」
「今年可以的。」林遠說。
周浩然看了他一眼：「你倒是信心滿滿。」
「信心這東西，」林遠笑了笑，「又不用花錢。」
適應場地的安排是在格拉斯哥大學的一間階梯教室。桌面是深色的木質，有些年頭了，但坐著很舒服。窗外是修剪整齊的草坪，有幾隻鴿子在啄食。
監考老師用英語宣讀了考試規則，然後發了草稿紙。
【寫到這裡我希望讀者記一下我們域名𝓣𝓦看書網→𝓼𝓱𝓾.𝓽𝔀】
「就當是最後一次練習。」喻教練在場邊輕聲說，「放鬆心態。」
林遠坐在靠窗的位置，面前擺著一疊草稿紙和幾支鉛筆。他把鉛筆削尖，又檢查了一遍橡皮。窗外陽光正好，幾朵白雲在藍天上緩緩移動。
一切都很平靜。
晚上回到宿舍，林遠躺在床上，盯著天花板。
「在想什麼？」小艾的聲音在腦海里響起。
「明天。」林遠閉上眼睛，「三年的努力，就看明天和後天了。」
「宿主準備得已經很充分了。」小艾說，「三年的高中數學課程，一年的競賽訓練，集訓隊的強化，還有……我的輔助運算。」
「考試的時候你幫不了我。」林遠說，「這是真的比賽。」
「所以，宿主才是最厲害的那個。」小艾的聲音很認真，「我只是工具，解決問題的是你。」
林遠笑了笑，沒有說話。
小艾頓了頓，又說：「對了，宿主，有件事提醒一下。HSBC在英國有分支機構，如果需要開帳戶，可以去市中心的分行。」
「知道了。」林遠點點頭，「考完再說。」
他翻了個身，閉上眼睛。
明天，就是明天了。
七月二十四日。
林遠五點半就醒了，再也睡不著。他躺在床上，等到六點半的鬧鐘響起，才起身洗漱。
早餐是標準的英式早餐——煎蛋、培根、烤麵包、咖啡。林遠吃得很慢，確保攝入足夠的能量。
七點半，大巴載著中國隊駛向考場。
考場設在格拉斯哥大學的一棟老教學樓里，紅磚牆面，古樸莊嚴。入口處站著幾位穿制服的保安，還有各國的領隊老師。
喻教練站在門口，一一和隊員們握手。
「加油。」他只說了這兩個字。
林遠走進考場，找到自己的座位。桌面上的銘牌寫著「LIN YUAN, CHINA」。他坐下來，深吸一口氣，等待髮捲。
八點整，監考老師準時拆開密封的試卷袋，將試題分發下去。
林遠接過那三頁紙，首先看到了三道題目的標題。
Problem 1，組合。Problem 2，幾何。Problem 3，數論。
這是最難的一道題，也是決定能否滿分的關鍵。
題目要求找出所有正整數對(m,n)（m,n≥3），使得存在無限多個正整數a，使得(a^m + a - 1) / (a^n + a² - 1)為整數。
林遠讀了三遍題目，開始在腦海中搜索類似的題型。
無窮多個a，使得這個分式是整數……這意味著分子是分母的倍數，而這個性質對無窮多的a成立……
他首先想到多項式整除——如果f(x)|g(x)，則對所有a成立。但題目只要求"無窮多"而非"所有"，條件更弱。
林遠在草稿紙上寫下f(a) = a^n + a² - 1，g(a) = a^m + a - 1，開始做多項式除法。
他逐個嘗試m和n的差值。
m = n：g - f = -a(a-1)，只有有限個a滿足。排除。
m ＜ n：g/f → 0，分式不可能為正整數。排除。
m - n = 1：餘式次數低於f，同樣只有有限個a滿足。排除。
林遠看了一眼時間——十點二十。還有兩個多小時，不急。
他深吸一口氣，決定換一個根本性的視角。
"存在無窮多a使得f(a)|g(a)"——這個條件和多項式整除有什麼深層關係？
如果gcd(g, f)的次數等於deg(f)，那f | g對所有a成立。如果gcd的次數小於deg(f)但大於0呢？
設d = gcd(g, f)，f = d·h，g = d·k，其中gcd(h, k) = 1。f | g若且唯若h | k。但gcd(h, k) = 1，h | k意味著h = ±1，即f | g在Q[x]上成立。
所以——
"無窮多a使f(a)|g(a)"等價於"f(x)|g(x)在Q[x]中成立"！
林遠猛地坐直了身子。
這個等價條件把數論問題直接轉化為了多項式整除問題，一切豁然開朗！
他迅速用多項式整除重新審視：
m ≤ n：deg(g) ≤ deg(f)，f整除g只有f = g，但g ≠ f。排除。
m - n = 1：餘式r(x)次數為3，驗證不整除。排除。
m - n = 2：g(x) = x²·f(x) + r(x)，r(x) = g - x²·f = -(x-1)(x³+x²-1)。
f | r若且唯若(x^n+x²-1) | (x-1)(x³+x²-1)。
當n = 3時，f = x³+x²-1，r = -(x-1)·f，f | r顯然成立！
所以g(x) = (x²-x+1)·f(x)，對所有x成立！
驗算：(x²-x+1)(x³+x²-1) = x⁵+x⁴-x²-x⁴-x³+x+x³+x²-1 = x⁵+x-1。✓
(m, n) = (5, 3)是解！
當n ≥ 4時，deg(f) = n ≥ 4 ＞ 3，f不可能整除(x-1)(x³+x²-1)。排除。
m - n ≥ 3：餘式次數更高，同理排除。
唯一的解：(m, n) = (5, 3)。
他開始寫正式證明。等價條件的論證、m ≤ n的排除、m-n的逐級縮小、n=3時餘式恰好被f整除——每一步都寫得清清楚楚。IMO評分的嚴苛他太清楚了，一步跳步就可能被扣分。
寫完最後一行，他抬頭看鐘——十二點十五。還有十五分鐘。
他從頭到尾檢查了兩遍，確認每一步推導都有依據，每一個特殊情況都沒有遺漏。
十二點半，鈴聲響起。監考老師開始收卷。
林遠放下筆，長長地呼出一口氣。三道題，全部完成。他有信心，每一道都是滿分。
走出考場，陽光有些刺眼。七月的格拉斯哥難得放晴，天空湛藍如洗。周浩然第一個迎上來。
"怎麼樣？"
"都做完了。"
"Problem 3呢？"
"做出來了。"林遠的聲音平靜，但嘴角微微上揚。
周浩然愣了一下，然後重重拍他肩膀："我就知道。Problem 3我卡了快兩個小時，最後只寫了個答案和半截思路，證明肯定不完。"
其他隊友也陸續出來。劉浩然臉色不錯，王子軒皺著眉，李明輝和陳宇都顯得有些疲憊。
喻教練在門口等著，掃了大家一眼，沒有多問。
"回宿舍休息，"他說，"明天還有一場。"
晚上，林遠躺在床上，望著天花板。
"宿主，"小艾的聲音響起，"今天的發揮很出色。Problem 3的證明邏輯嚴謹，應該是滿分。"
"那個等價條件是關鍵，"林遠在心裡說，"無窮多a整除等價於多項式整除——如果一開始就想到這個，能省不少時間。"
"明天還有三道題。"小艾提醒道。
"我知道。"林遠閉上眼睛，"今天二十一分，明天再拿二十一分。"
窗外是格拉斯哥寂靜的夜空，幾顆星星在雲層的縫隙中閃爍。
明天，還有最後一戰。
林遠揉了揉眼睛，透過舷窗看向外面。天色灰濛濛的，飄著細雨。跑道兩旁是大片的草坪，遠處的候機樓是典型的現代建築，玻璃幕牆反射著暗淡的天光。
「這就是英國啊。」旁邊的周浩然伸了個懶腰，「比我想像的要冷。」
「你以為英國是熱帶？」劉浩然笑著接話，「格拉斯哥在蘇格蘭，緯度和漠河差不多。」
林遠沒說話，只是默默收拾自己的隨身物品。他的行李很簡單——一個背包，裝著一周的衣服和幾本筆記本。成大給的那四萬塊錢已經換成了旅行支票，縫在背包夾層里，貼著後背。
國家隊六人魚貫走出廊橋，迎面是潮濕而清冽的空氣。
格拉斯哥國際機場不大，但秩序井然。喻教練舉著接機牌，早有一位當地的華人留學生在出口等候——是上一屆IMO的銀牌選手，現在在格拉斯哥大學讀數學，這次主動請纓來做志願者。
「喻老師！這邊走，大巴已經在等了。」
喻教練點點頭，帶著六人上了一輛白色麵包車。窗外是典型的英國城市景觀——維多利亞式的紅砂岩建築，被雨水洗得有些斑駁；街道不寬，兩旁停滿了汽車；天色陰沉，隨時可能落下陣雨。
「格拉斯哥是英國第三大城市，」華人留學生一邊開車一邊介紹，「工業革命的發源地之一。克萊德河從城邊流過，以前是造船業的中心……」
林遠看著窗外，默默聽著。克萊德河灰藍色的水面在雨幕中若隱若現，幾隻海鷗在河面上盤旋。這座城市有一種沉甸甸的歷史感，和北京完全不同。
宿舍區在格拉斯哥大學附近，是一棟維多利亞風格的公寓樓。房間不大，但乾淨整潔，兩人一間。林遠和周浩然分在一屋。
喻教練在大堂集合全隊，開了最後一次賽前會。
「從現在起到考試結束，一切按計劃進行。」喻教練的聲音沉穩有力，「明天開幕式，後天適應場地，大後天下午自由活動，最後一天正式考試。這幾天好好休息，調整時差，不要劇烈運動，不要吃不乾淨的東西。」
「有問題嗎？」
沒人說話。
喻教練點點頭：「散了。明天早上七點集合。」
開幕式是在格拉斯哥市政廳舉行的。
穿著格子裙的風笛手吹奏著古老的蘇格蘭民謠，各國代表隊依次入場。中國隊排在中間偏前的位置，六人清一色的深藍色西裝，胸前別著五星紅旗的徽章。
全場響起掌聲。林遠抬起頭，看見主席台上坐著幾位頭髮花白的數學家——那是歷屆IMO的金牌得主，如今已是各自領域的權威。
「他們也曾坐在觀眾席上，」林遠在心裡想，「那時候他們也是十六歲，也是來參加IMO的。」
開幕式結束後，各國選手在市政廳外的廣場上交流。林遠用英語和幾個北歐選手聊了幾句，還和一個波蘭小哥交換了郵箱地址——當然，那個郵箱是給小艾用的，他自己並沒有電子郵箱。
傍晚回宿舍的路上，周浩然突然問：「林遠，你緊張嗎？」
「還好。」林遠想了想，「你呢？」
「說不緊張是假的。」周浩然坦誠地說，「這是我第二次參賽了，去年沒拿到滿分，一直憋著一口氣。」
「今年可以的。」林遠說。
周浩然看了他一眼：「你倒是信心滿滿。」
「信心這東西，」林遠笑了笑，「又不用花錢。」
適應場地的安排是在格拉斯哥大學的一間階梯教室。桌面是深色的木質，有些年頭了，但坐著很舒服。窗外是修剪整齊的草坪，有幾隻鴿子在啄食。
監考老師用英語宣讀了考試規則，然後發了草稿紙。
【寫到這裡我希望讀者記一下我們域名𝓣𝓦看書網→𝓼𝓱𝓾.𝓽𝔀】
「就當是最後一次練習。」喻教練在場邊輕聲說，「放鬆心態。」
林遠坐在靠窗的位置，面前擺著一疊草稿紙和幾支鉛筆。他把鉛筆削尖，又檢查了一遍橡皮。窗外陽光正好，幾朵白雲在藍天上緩緩移動。
一切都很平靜。
晚上回到宿舍，林遠躺在床上，盯著天花板。
「在想什麼？」小艾的聲音在腦海里響起。
「明天。」林遠閉上眼睛，「三年的努力，就看明天和後天了。」
「宿主準備得已經很充分了。」小艾說，「三年的高中數學課程，一年的競賽訓練，集訓隊的強化，還有……我的輔助運算。」
「考試的時候你幫不了我。」林遠說，「這是真的比賽。」
「所以，宿主才是最厲害的那個。」小艾的聲音很認真，「我只是工具，解決問題的是你。」
林遠笑了笑，沒有說話。
小艾頓了頓，又說：「對了，宿主，有件事提醒一下。HSBC在英國有分支機構，如果需要開帳戶，可以去市中心的分行。」
「知道了。」林遠點點頭，「考完再說。」
他翻了個身，閉上眼睛。
明天，就是明天了。
七月二十四日。
林遠五點半就醒了，再也睡不著。他躺在床上，等到六點半的鬧鐘響起，才起身洗漱。
早餐是標準的英式早餐——煎蛋、培根、烤麵包、咖啡。林遠吃得很慢，確保攝入足夠的能量。
七點半，大巴載著中國隊駛向考場。
考場設在格拉斯哥大學的一棟老教學樓里，紅磚牆面，古樸莊嚴。入口處站著幾位穿制服的保安，還有各國的領隊老師。
喻教練站在門口，一一和隊員們握手。
「加油。」他只說了這兩個字。
林遠走進考場，找到自己的座位。桌面上的銘牌寫著「LIN YUAN, CHINA」。他坐下來，深吸一口氣，等待髮捲。
八點整，監考老師準時拆開密封的試卷袋，將試題分發下去。
林遠接過那三頁紙，首先看到了三道題目的標題。
Problem 1，組合。Problem 2，幾何。Problem 3，數論。
這是最難的一道題，也是決定能否滿分的關鍵。
題目要求找出所有正整數對(m,n)（m,n≥3），使得存在無限多個正整數a，使得(a^m + a - 1) / (a^n + a² - 1)為整數。
林遠讀了三遍題目，開始在腦海中搜索類似的題型。
無窮多個a，使得這個分式是整數……這意味著分子是分母的倍數，而這個性質對無窮多的a成立……
他首先想到多項式整除——如果f(x)|g(x)，則對所有a成立。但題目只要求"無窮多"而非"所有"，條件更弱。
林遠在草稿紙上寫下f(a) = a^n + a² - 1，g(a) = a^m + a - 1，開始做多項式除法。
他逐個嘗試m和n的差值。
m = n：g - f = -a(a-1)，只有有限個a滿足。排除。
m ＜ n：g/f → 0，分式不可能為正整數。排除。
m - n = 1：餘式次數低於f，同樣只有有限個a滿足。排除。
林遠看了一眼時間——十點二十。還有兩個多小時，不急。
他深吸一口氣，決定換一個根本性的視角。
"存在無窮多a使得f(a)|g(a)"——這個條件和多項式整除有什麼深層關係？
如果gcd(g, f)的次數等於deg(f)，那f | g對所有a成立。如果gcd的次數小於deg(f)但大於0呢？
設d = gcd(g, f)，f = d·h，g = d·k，其中gcd(h, k) = 1。f | g若且唯若h | k。但gcd(h, k) = 1，h | k意味著h = ±1，即f | g在Q[x]上成立。
所以——
"無窮多a使f(a)|g(a)"等價於"f(x)|g(x)在Q[x]中成立"！
林遠猛地坐直了身子。
這個等價條件把數論問題直接轉化為了多項式整除問題，一切豁然開朗！
他迅速用多項式整除重新審視：
m ≤ n：deg(g) ≤ deg(f)，f整除g只有f = g，但g ≠ f。排除。
m - n = 1：餘式r(x)次數為3，驗證不整除。排除。
m - n = 2：g(x) = x²·f(x) + r(x)，r(x) = g - x²·f = -(x-1)(x³+x²-1)。
f | r若且唯若(x^n+x²-1) | (x-1)(x³+x²-1)。
當n = 3時，f = x³+x²-1，r = -(x-1)·f，f | r顯然成立！
所以g(x) = (x²-x+1)·f(x)，對所有x成立！
驗算：(x²-x+1)(x³+x²-1) = x⁵+x⁴-x²-x⁴-x³+x+x³+x²-1 = x⁵+x-1。✓
(m, n) = (5, 3)是解！
當n ≥ 4時，deg(f) = n ≥ 4 ＞ 3，f不可能整除(x-1)(x³+x²-1)。排除。
m - n ≥ 3：餘式次數更高，同理排除。
唯一的解：(m, n) = (5, 3)。
他開始寫正式證明。等價條件的論證、m ≤ n的排除、m-n的逐級縮小、n=3時餘式恰好被f整除——每一步都寫得清清楚楚。IMO評分的嚴苛他太清楚了，一步跳步就可能被扣分。
寫完最後一行，他抬頭看鐘——十二點十五。還有十五分鐘。
他從頭到尾檢查了兩遍，確認每一步推導都有依據，每一個特殊情況都沒有遺漏。
十二點半，鈴聲響起。監考老師開始收卷。
林遠放下筆，長長地呼出一口氣。三道題，全部完成。他有信心，每一道都是滿分。
走出考場，陽光有些刺眼。七月的格拉斯哥難得放晴，天空湛藍如洗。周浩然第一個迎上來。
"怎麼樣？"
"都做完了。"
"Problem 3呢？"
"做出來了。"林遠的聲音平靜，但嘴角微微上揚。
周浩然愣了一下，然後重重拍他肩膀："我就知道。Problem 3我卡了快兩個小時，最後只寫了個答案和半截思路，證明肯定不完。"
其他隊友也陸續出來。劉浩然臉色不錯，王子軒皺著眉，李明輝和陳宇都顯得有些疲憊。
喻教練在門口等著，掃了大家一眼，沒有多問。
"回宿舍休息，"他說，"明天還有一場。"
晚上，林遠躺在床上，望著天花板。
"宿主，"小艾的聲音響起，"今天的發揮很出色。Problem 3的證明邏輯嚴謹，應該是滿分。"
"那個等價條件是關鍵，"林遠在心裡說，"無窮多a整除等價於多項式整除——如果一開始就想到這個，能省不少時間。"
"明天還有三道題。"小艾提醒道。
"我知道。"林遠閉上眼睛，"今天二十一分，明天再拿二十一分。"
窗外是格拉斯哥寂靜的夜空，幾顆星星在雲層的縫隙中閃爍。
明天，還有最後一戰。