第79章 一元化多元（求首訂）
第79章 一元化多元（求首訂）
氣象學研究表明，氣溫峰值比太陽輻射峰值滯後約兩小時左右，所以一天中最熱的時候其實是下午。
下午快兩點的時候，大一的新生們從宿舍樓頂著滾滾熱浪陸陸續續走過來。
「這麼熱，怎麼就不能下個雨呢？」趙宇航眯著眼搖頭看了眼天，又趕緊低下頭。
王祺峰咧嘴一笑：「學校都給你算好時間了，最近幾天都是大太陽，你就別想了。」
「臥槽，」趙宇航一臉悲傷，「這也太難受了。」
王祺峰轉頭好奇地看著趙宇航：「你不是很喜歡踢球嗎？還怕熱？」
趙宇航回道：「軍訓能和踢球比嗎？踢球是生活，軍訓呢？生氣！」
一行四人中只有趙宇航和王祺峰聊著天，徐亮耷拉著臉根本沒有說話的欲望。
雖然經過了午休，但他的臉上仍然疲憊不堪，讓人擔心他下一秒就會倒下。
∫（0→n）（sin）^（n—2）/（1—2rcos+r2）^（n/2）d，n≥2，|r|≠1
這道題很有意思，算是他學習數分以來遇到過的為數不多第一時間沒有思路的題目。
這個結構他見過類似的，分母那個1—2rcos+r的形式在傅立葉分析里經常出現，是泊松核的變體，但指數上掛了個n/2就有點難搞了。
遞推法？
不行，這個被積函數的結構不是簡單的冪次遞推能抵消的，每降一次冪，分子和分母會同時變複雜，遞推鏈條建立不起來。
三角換元？
也不行，那個n是變量，不是具體數字，換元之後指數上的n/2無法處理，逆著換元同樣不行。
冪級數展開逐項積分？
理論上可以試試把分母按二項式展開，但n是變量，展開本身就足夠誇張了，更別說逐項積分之後的求和。
吳熠在腦子裡一一嘗試常規方法，基本上在腦子裡走上幾步就走不下去了。
好像還真沒什麼好思路。
這道題如果是具體數值還可以直接硬算，但帶著n和r兩個參數，意味著要求通式，而不是單純一個結果那麼簡單。
不知走了多久，他突然隱約間有個方向，這個被積函數的形式和n維球面上的積分核有點像。
如果把一維的定積分放到更高維的空間去看說不定能走得通。
此時他們四人已經走到了訓練區域，前排的女生們已經到了一半左右，都在看台下面的陰影處躲太陽。
吳熠一來，她們的目光又被吸引了，有幾個還小聲說笑起來。
「集合！」
隊伍很快整好，吳熠還是站在原先的位置，最後一排的最右邊。
王剛在隊伍前站定，看了一圈微微點頭：「人都到了，這點很好，以後繼續保持。」
【寫到這裡我希望讀者記一下我們域名 TW 看書網書海量，𝐬𝐡𝐮.𝐭𝐰任你挑 】
「下午的訓練內容，先複習上午的立正和稍息，然後我們學習停止間轉法，動作都還記得吧？」
「記得。」有氣無力的聲音。
「大點聲，沒吃飯嗎？」
「記得！」
「全體都有一立正！」
在教官的口號聲中，吳熠的身體和其他人一起執行命令，但他的思維不在這裡。
空間想像能力提升後，他的意識層面好像發生了些變化。
比如現在，那個積分在他腦海中翻來覆去，各種元素不斷拆解、組合，他像是在玩搭積木。
但在現實層面，他一點沒表現出不專心的樣子，每一個動作都標準得讓教官都挑不出毛病。
泊松核的標準形式是（1—r2）/（1—2rcos+r2），如果題目的=2，整個積分會簡單很多，但這個n/2仿佛是故意要讓常規方法失效。
之前的那個念頭又一次冒出來，如果把這個積分放到高維空間裡呢？
一般來說數學都追求簡潔，更少的未知數，更簡單的表達式。
如果遇到一個多元問題，比較常規的想法就是將它化為一元進行計算。
把一元化為多元是個大膽的嘗試，但吳熠冥冥中感覺這個可行。
那就得利用球面的極坐標換元公式：
₁=rcosθ₁，2=rsinθ₁cos θ2，n=rsinθ₁sinθ2sinθ（n—1）.
這樣就可以把矩形變成半徑為R的n維閉球，然後就可以算出這個變換的Jacobi行列式。
接著用球面坐標計算n維單位球的體積————
後面的過程實在太過複雜，吳熠感覺自己大腦的算力不足了，心中嘆了口氣。
唉，還是不夠強啊，竟然連心算都做不到。
「向後轉！」
教官的口令把吳熠的思維也拉回現實，他利落地以右腳跟為軸，雙腳同時發力使身體向右轉一百八十度，然後迅速變回立正姿勢。
下午的訓練一直持續到五點半，操場那邊傳來一聲結束的哨響。
不過這並不意味著結束，王剛整完隊又交代了幾句晚上訓練不要遲到之類的話才宣布解散。
「吳熠，走，去買鵝腿。」
趙宇航話還沒說完，就見吳熠飛奔離開。
他的手還懸在半空中，最後收回來擦了擦汗，奇怪道：「什麼情況？」
「不知道啊。」王祺峰看著吳熠奔跑的背影，表情有些迷茫。
吳熠腳步不停，一直跑回宿舍，然後坐到書桌前快速翻開草稿本。
前面的一小半過程都已經在腦中推得滾瓜爛熟，他提筆就寫。
第一步，極坐標換元。
這個積分是一維的，但被積函數的結構暗示它可以被看作某個維積分在球面上的限制。
吳熠在紙上寫下變換公式，把對應到維球面上的一個參數角。
很輕鬆就可以計算出這個變換的Jacobi行列式等於r^（n—1）（sin）^（n—2）
（sin日z）^（n—3）——sin日（n—1）。
然後用球面坐標計算維單位球的體積就可以得到一個等式。
第二步，利用等式將題目轉化為曲面積分。
第三步，利用高斯公式計算曲面積分。
這是最關鍵的一步，構造出來的維積分在球體上可以應用高斯公式。
而邊界面積分在適當的參數化下，恰好還原到題目里的定積分。
吳熠在紙上寫下高斯公式的標準形式，然後把自己構造的積分套進去，確認每一項都匹配。
最後這一步他寫了整整三頁草稿紙。
一是因為式子本身就很長，動不動就是從1，2一直寫到。
二是因為需要驗證的條件太多，比如被積函數必須滿足高斯公式的適用條件，邊界曲面的定向必須正確，參數化的坐標覆蓋必須完整等等。
若|r|<1，原式=1/（1—r2）B（n—1）/2，1/2）；若1r|>1，原始=1/（r|^（n—2）
（r2—1））B（（n—1）/2，1/2）。
寫下最後一行答案，吳熠將這三頁寫滿過程的紙拿起來欣賞，臉上帶著滿足的微笑。
就是這個結果，沒錯。
不需要進行運算，他肯定自己的推導過程沒有一點問題，最後的這個結論也非常優雅。
他拿起手機仔細將這三頁推導過程拍了照，準備給曾陽發過去。
氣象學研究表明，氣溫峰值比太陽輻射峰值滯後約兩小時左右，所以一天中最熱的時候其實是下午。
下午快兩點的時候，大一的新生們從宿舍樓頂著滾滾熱浪陸陸續續走過來。
「這麼熱，怎麼就不能下個雨呢？」趙宇航眯著眼搖頭看了眼天，又趕緊低下頭。
王祺峰咧嘴一笑：「學校都給你算好時間了，最近幾天都是大太陽，你就別想了。」
「臥槽，」趙宇航一臉悲傷，「這也太難受了。」
王祺峰轉頭好奇地看著趙宇航：「你不是很喜歡踢球嗎？還怕熱？」
趙宇航回道：「軍訓能和踢球比嗎？踢球是生活，軍訓呢？生氣！」
一行四人中只有趙宇航和王祺峰聊著天，徐亮耷拉著臉根本沒有說話的欲望。
雖然經過了午休，但他的臉上仍然疲憊不堪，讓人擔心他下一秒就會倒下。
∫（0→n）（sin）^（n—2）/（1—2rcos+r2）^（n/2）d，n≥2，|r|≠1
這道題很有意思，算是他學習數分以來遇到過的為數不多第一時間沒有思路的題目。
這個結構他見過類似的，分母那個1—2rcos+r的形式在傅立葉分析里經常出現，是泊松核的變體，但指數上掛了個n/2就有點難搞了。
遞推法？
不行，這個被積函數的結構不是簡單的冪次遞推能抵消的，每降一次冪，分子和分母會同時變複雜，遞推鏈條建立不起來。
三角換元？
也不行，那個n是變量，不是具體數字，換元之後指數上的n/2無法處理，逆著換元同樣不行。
冪級數展開逐項積分？
理論上可以試試把分母按二項式展開，但n是變量，展開本身就足夠誇張了，更別說逐項積分之後的求和。
吳熠在腦子裡一一嘗試常規方法，基本上在腦子裡走上幾步就走不下去了。
好像還真沒什麼好思路。
這道題如果是具體數值還可以直接硬算，但帶著n和r兩個參數，意味著要求通式，而不是單純一個結果那麼簡單。
不知走了多久，他突然隱約間有個方向，這個被積函數的形式和n維球面上的積分核有點像。
如果把一維的定積分放到更高維的空間去看說不定能走得通。
此時他們四人已經走到了訓練區域，前排的女生們已經到了一半左右，都在看台下面的陰影處躲太陽。
吳熠一來，她們的目光又被吸引了，有幾個還小聲說笑起來。
「集合！」
隊伍很快整好，吳熠還是站在原先的位置，最後一排的最右邊。
王剛在隊伍前站定，看了一圈微微點頭：「人都到了，這點很好，以後繼續保持。」
【寫到這裡我希望讀者記一下我們域名 TW 看書網書海量，𝐬𝐡𝐮.𝐭𝐰任你挑 】
「下午的訓練內容，先複習上午的立正和稍息，然後我們學習停止間轉法，動作都還記得吧？」
「記得。」有氣無力的聲音。
「大點聲，沒吃飯嗎？」
「記得！」
「全體都有一立正！」
在教官的口號聲中，吳熠的身體和其他人一起執行命令，但他的思維不在這裡。
空間想像能力提升後，他的意識層面好像發生了些變化。
比如現在，那個積分在他腦海中翻來覆去，各種元素不斷拆解、組合，他像是在玩搭積木。
但在現實層面，他一點沒表現出不專心的樣子，每一個動作都標準得讓教官都挑不出毛病。
泊松核的標準形式是（1—r2）/（1—2rcos+r2），如果題目的=2，整個積分會簡單很多，但這個n/2仿佛是故意要讓常規方法失效。
之前的那個念頭又一次冒出來，如果把這個積分放到高維空間裡呢？
一般來說數學都追求簡潔，更少的未知數，更簡單的表達式。
如果遇到一個多元問題，比較常規的想法就是將它化為一元進行計算。
把一元化為多元是個大膽的嘗試，但吳熠冥冥中感覺這個可行。
那就得利用球面的極坐標換元公式：
₁=rcosθ₁，2=rsinθ₁cos θ2，n=rsinθ₁sinθ2sinθ（n—1）.
這樣就可以把矩形變成半徑為R的n維閉球，然後就可以算出這個變換的Jacobi行列式。
接著用球面坐標計算n維單位球的體積————
後面的過程實在太過複雜，吳熠感覺自己大腦的算力不足了，心中嘆了口氣。
唉，還是不夠強啊，竟然連心算都做不到。
「向後轉！」
教官的口令把吳熠的思維也拉回現實，他利落地以右腳跟為軸，雙腳同時發力使身體向右轉一百八十度，然後迅速變回立正姿勢。
下午的訓練一直持續到五點半，操場那邊傳來一聲結束的哨響。
不過這並不意味著結束，王剛整完隊又交代了幾句晚上訓練不要遲到之類的話才宣布解散。
「吳熠，走，去買鵝腿。」
趙宇航話還沒說完，就見吳熠飛奔離開。
他的手還懸在半空中，最後收回來擦了擦汗，奇怪道：「什麼情況？」
「不知道啊。」王祺峰看著吳熠奔跑的背影，表情有些迷茫。
吳熠腳步不停，一直跑回宿舍，然後坐到書桌前快速翻開草稿本。
前面的一小半過程都已經在腦中推得滾瓜爛熟，他提筆就寫。
第一步，極坐標換元。
這個積分是一維的，但被積函數的結構暗示它可以被看作某個維積分在球面上的限制。
吳熠在紙上寫下變換公式，把對應到維球面上的一個參數角。
很輕鬆就可以計算出這個變換的Jacobi行列式等於r^（n—1）（sin）^（n—2）
（sin日z）^（n—3）——sin日（n—1）。
然後用球面坐標計算維單位球的體積就可以得到一個等式。
第二步，利用等式將題目轉化為曲面積分。
第三步，利用高斯公式計算曲面積分。
這是最關鍵的一步，構造出來的維積分在球體上可以應用高斯公式。
而邊界面積分在適當的參數化下，恰好還原到題目里的定積分。
吳熠在紙上寫下高斯公式的標準形式，然後把自己構造的積分套進去，確認每一項都匹配。
最後這一步他寫了整整三頁草稿紙。
一是因為式子本身就很長，動不動就是從1，2一直寫到。
二是因為需要驗證的條件太多，比如被積函數必須滿足高斯公式的適用條件，邊界曲面的定向必須正確，參數化的坐標覆蓋必須完整等等。
若|r|<1，原式=1/（1—r2）B（n—1）/2，1/2）；若1r|>1，原始=1/（r|^（n—2）
（r2—1））B（（n—1）/2，1/2）。
寫下最後一行答案，吳熠將這三頁寫滿過程的紙拿起來欣賞，臉上帶著滿足的微笑。
就是這個結果，沒錯。
不需要進行運算，他肯定自己的推導過程沒有一點問題，最後的這個結論也非常優雅。
他拿起手機仔細將這三頁推導過程拍了照，準備給曾陽發過去。