第101章 你怎麼17歲了，還沒學會微積分啊？
第101章 你怎麼17歲了，還沒學會微積分啊？
手指撫過泛黃的書頁，韓川的視線落在《工程控制論》上。
翻開正文的第一頁，他看著油墨印刷的字跡開始逐字逐句地往下讀。
開篇第一章的第一小節是常係數線性系統。
油墨沉澱的字跡規整嚴謹，每一行文字都承載著厚重的理論積澱，沒有半分冗餘廢話o
讓我們來討論一個最簡單的系統一階系統。也就是說，微分方程是一個一階的常係數線性方程。】
【如果假定系統本身的特性不受到外界的影響，並且不受到驅動函數（也就是外力）的作用，那麼，微分方程就可以寫作下列形式：】
【dy/dt+ky=0】
【其中k是一個實常數，可以叫作彈簧常數。當y不隨時間變化時，dy/dt等於零..】
....對於階數更高的系統來說，微分方程里含有更高階的導數。n階系統的微分方程就是：d^ny/dt^n+an—1·d^n—1y/dt^n—1+···+a0y=0......】
一行行的字跡映入眼帘，教材上的知識和講解循序漸進，從最基礎的一階系統定義切入開始，內容層層遞進，逐步延伸至更高階的系統理論。
雖然說常微分方程並不是韓川學習的重點，但對於現在的他來說，理解起來倒也並不算很困難。
這讓韓川稍稍鬆了口氣，至少他不是那個卡在第一頁的人了。
緊繃的神經稍稍舒緩了不少，他順著正文一行一行的往下看去，開始將注意力和精力全都集中到面前的書本上。
短短一小節的常係數線性微分方程，他花了將近二十分鐘的時間。
倒不是因為內容很難很難，常係數線性系統的數學描述對他來說並不複雜。
真正花費他時間的，是錢老寫在字裡行間的那些思想，幾平每一段都能和他自己的研究經歷產生共振。
他有一種奇怪的感覺，像是在和一位從未謀面的師長隔空對話一樣。
就像這小節的最後一句話：「只要確定了微分方程的係數，我們就可以答覆系統是否穩定的問題。」
「在由方程（1.1）所描述的簡單的一階系統的情況中，k的符號是唯一的有決定性意義的資料。」
這句話給韓川帶來了不小的啟發。
他當初在邊界層上推導對偶不等式的邏輯結構時發現，其實所有複雜的放縮、估計、
漸近展開，最終都歸結為一個簡潔的判斷條件。
而控制列是否在邊界層上保持一致收斂性，不看別的，就看那個對偶不等式是否成立o
成立，則穩定收斂；不成立，則崩壞散亂。
不得不說，這種感覺極為奇妙且珍貴。
明明是在閱讀教材上的文字，韓川卻感覺仿佛一位學識淵博、思維通透的前輩師長端坐對面與他探討學術、剖析理論。
沒有枯燥的說教，沒有生硬的灌輸，只有純粹的思維碰撞與學術交流，跨越歲月與距離，完成一場無聲的隔空對話。
【記住本站域名 讀好書上 TW 看書網，sʜᴜ.ᴛᴡ超省心 】
思索著，韓川將自己的心得與體驗記錄在了筆記本上，然後繼續往下閱讀。
從常係數線性系統開始，到變係數線性系統，再到非線性系統和工程近似問題...
跟著教材上的節奏，他繼續往下讀，不時停下來在筆記本上做批註，偶爾翻回前面幾頁對照某個公式的推導前提。
不得不說，這本教材的難度比韓川預料的還要大上不少。
或者說，它的每一章每一小節的難度，都是從淺入深不斷提升的。
從常係數到變係數，從線性到非線性，這本《工程控制論》的難度曲線幾平是直線上升的。
就像常係數線性系統，一開始僅僅是【dy/dt+ky=0】這種一階算式，但到結束時，已然演變成了實際物理體系下的n階方程。
不僅如此，還摻雜了擾動、穩定性、不穩定性等多方面的概念。
就像是對【d^ny/dt^n+an—1·d^n—1y/dt^n—1+···+a0y=0......】方程求解，以得到【y=n∑i=1y^（i）。·e^ait·sin（βit+φi）】這組答案一樣。
如果說對n階方程進行求解還是一個大學生能勉強做到的。
那麼摻雜了擾動、穩定性、不穩定性等實際物理問題的系統求解，別說大學生了，就是研究生、博士生來了都相當困難。
畢竟每多一個干擾狀態，求解的難度都是呈指數級上升的。
尤其是第三小節的末尾，當書中的討論從理想化的線性模型轉向更貼近工程實際的非線性系統時，每一個小節都開始在挑戰他已有的知識邊界了。
當然，這也和他側重學習的領域不同有關係。
畢竟他學習的方向更偏重純數學，且偏向數論和解析數論等方向。
這種更貼近工程實際的線性系統和非線性系統確實不是他的強項。
揉了揉有些發脹的太陽穴，韓川拿起桌上的礦泉水瓶抿了口裡面的冰水，給有點發燙的腦子降降溫。
隨即，他的目光落在變係數線性系統的穩定性分析的頁面上。
這一節的核心是討論當系統的參數不再恆定、而是隨時間或狀態變化時，如何判斷系統的穩定性。
錢老在書中給出了一個基於特徵指數的方法，但這個方法的前提條件是變係數項必須滿足某些嚴格的數學約束。
即這些約束在純數學分析的框架下很容易被當作「理所當然」的前提接受下來，但在工程實踐中，它們往往是不成立的。
而在這裡，錢老引入了一個相當複雜的工程案例。
一個變質量的火箭飛行系統。
即火箭在飛行過程中不斷消耗燃料，總質量隨時間變化，導致描述其運動的微分方程中的係數不再是常數。
書中的推導從最基本的動量守恆定律出發，逐步建立起一個二階變係數非線性微分方程，然後試圖通過變量替換和近似處理來求解這個方程的穩定性條件。
其主項是一個二階非線性微分算子，擾動項包含了質量變化率、氣動阻力係數和推力偏心力矩三個因素的交叉耦合。
錢老在書中給出了這個方程的一個近似解，並註明「在工程允許的誤差範圍內，此近似解可以替代精確解進行系統分析。」
但韓川想試試能不能自己找到這個方程的精確解，有沒有更好的處理辦法。
思索著，他翻開了一頁全新的稿紙，拾起筆，開始嘗試改進積分估計。
「設系統狀態方程為n階變係數非線性微分方程，那麼其一般形式為：」
【d^n y/dt^n + a—{n—1}（t） · d^{n−1}y/dt^{n—1}+...+ a—0（t）y = F（t， y，y， . ..， y^ { （n—1）}）】
「其中a—i（t）是時變係數，F是非線性驅動項。」
按照《工程控制論》第二章第三節的處理方法，他需要對這個方程進行分段線性化近似。
但問題恰恰出在這裡，當變係數的變化速率較大時，分段線性化的截斷誤差在區間邊界上會急劇累積，導致整個近似框架失效。
然後...
然後韓川就將自己成功的卡在了這裡。
卡住他計算的倒不是微積分本身，以他現在在分析學方向的功底，處理這種級別的積分估計本來不應該有太大的困難。
真正讓他卡住的，是算式中的那個變係數項。
在他的控制列框架中，加權函數的構造依賴於對「奇性增長速率」的精確刻畫。
這意味著他需要先知道奇性在邊界層上的增長有多快，然後才能設計出比它更快的衰減機制。
然而在眼前這個變質量火箭系統中，變係數項的行為是高度不規則的。
簡單的來說，就是火箭飛行的時候，是先緩慢加速，然後在一段時間內以指數級提升速度，然後突破大氣層後趨於平緩的。
這意味著在數學上，它不是單調變化的，也不是周期性的，而是在某些區間內劇烈波動，在另一些區間內相對平緩。
這種不規則性使得他無法用一個統一的函數來刻畫它的「增長速率」，因此也就無法按照標準流程來構造加權控制列。
韓川嘗試過用極大值函數來統一控制變係數項的波動範圍，結果是放縮太松，控制列在遠場區域內的收斂速度被拖累到了不實用的程度。
然後他又試了分段構造不同的加權函數，然後在分段邊界上用插值函數做平滑連接。
結果他發現分段數量隨著系統複雜度呈指數增長，到了實際工程系統的規模，這種方法在計算上根本不可行。
兩種短時間能想到的解決方法都走不通。
捏著筆，韓川盯著稿紙上那些被劃掉的公式，陷入了沉思。
頭頂的日光燈管不知道什麼時候亮了起來，發出細微的滋滋聲。
窗外開始漸漸地暗淡了下來，圖書館裡只剩下零星的幾個學生還趴在桌上，遠處偶爾傳來翻書的輕響，很快又歸於沉寂。
世界的邊界不知道什麼時候開始消失了，只剩下文字在眼前流淌，一行一行，無聲地牽引著他的思緒。
直到原本規整印刷字跡突然微微晃動起來。
緊隨其後，這些墨黑的字跡從紙面上浮起來，像是被什麼力量從書本的二維平面中解放出來，變成了一個個立體的、帶著微弱光暈的三維符號。
隨即，一行通透的字跡憑空浮現，凌駕於所有印刷文字之上，清晰地映入韓川的眼帘中。
「你怎麼17歲了，都還沒學會微積分啊？」
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手指撫過泛黃的書頁，韓川的視線落在《工程控制論》上。
翻開正文的第一頁，他看著油墨印刷的字跡開始逐字逐句地往下讀。
開篇第一章的第一小節是常係數線性系統。
油墨沉澱的字跡規整嚴謹，每一行文字都承載著厚重的理論積澱，沒有半分冗餘廢話o
讓我們來討論一個最簡單的系統一階系統。也就是說，微分方程是一個一階的常係數線性方程。】
【如果假定系統本身的特性不受到外界的影響，並且不受到驅動函數（也就是外力）的作用，那麼，微分方程就可以寫作下列形式：】
【dy/dt+ky=0】
【其中k是一個實常數，可以叫作彈簧常數。當y不隨時間變化時，dy/dt等於零..】
....對於階數更高的系統來說，微分方程里含有更高階的導數。n階系統的微分方程就是：d^ny/dt^n+an—1·d^n—1y/dt^n—1+···+a0y=0......】
一行行的字跡映入眼帘，教材上的知識和講解循序漸進，從最基礎的一階系統定義切入開始，內容層層遞進，逐步延伸至更高階的系統理論。
雖然說常微分方程並不是韓川學習的重點，但對於現在的他來說，理解起來倒也並不算很困難。
這讓韓川稍稍鬆了口氣，至少他不是那個卡在第一頁的人了。
緊繃的神經稍稍舒緩了不少，他順著正文一行一行的往下看去，開始將注意力和精力全都集中到面前的書本上。
短短一小節的常係數線性微分方程，他花了將近二十分鐘的時間。
倒不是因為內容很難很難，常係數線性系統的數學描述對他來說並不複雜。
真正花費他時間的，是錢老寫在字裡行間的那些思想，幾平每一段都能和他自己的研究經歷產生共振。
他有一種奇怪的感覺，像是在和一位從未謀面的師長隔空對話一樣。
就像這小節的最後一句話：「只要確定了微分方程的係數，我們就可以答覆系統是否穩定的問題。」
「在由方程（1.1）所描述的簡單的一階系統的情況中，k的符號是唯一的有決定性意義的資料。」
這句話給韓川帶來了不小的啟發。
他當初在邊界層上推導對偶不等式的邏輯結構時發現，其實所有複雜的放縮、估計、
漸近展開，最終都歸結為一個簡潔的判斷條件。
而控制列是否在邊界層上保持一致收斂性，不看別的，就看那個對偶不等式是否成立o
成立，則穩定收斂；不成立，則崩壞散亂。
不得不說，這種感覺極為奇妙且珍貴。
明明是在閱讀教材上的文字，韓川卻感覺仿佛一位學識淵博、思維通透的前輩師長端坐對面與他探討學術、剖析理論。
沒有枯燥的說教，沒有生硬的灌輸，只有純粹的思維碰撞與學術交流，跨越歲月與距離，完成一場無聲的隔空對話。
【記住本站域名 讀好書上 TW 看書網，sʜᴜ.ᴛᴡ超省心 】
思索著，韓川將自己的心得與體驗記錄在了筆記本上，然後繼續往下閱讀。
從常係數線性系統開始，到變係數線性系統，再到非線性系統和工程近似問題...
跟著教材上的節奏，他繼續往下讀，不時停下來在筆記本上做批註，偶爾翻回前面幾頁對照某個公式的推導前提。
不得不說，這本教材的難度比韓川預料的還要大上不少。
或者說，它的每一章每一小節的難度，都是從淺入深不斷提升的。
從常係數到變係數，從線性到非線性，這本《工程控制論》的難度曲線幾平是直線上升的。
就像常係數線性系統，一開始僅僅是【dy/dt+ky=0】這種一階算式，但到結束時，已然演變成了實際物理體系下的n階方程。
不僅如此，還摻雜了擾動、穩定性、不穩定性等多方面的概念。
就像是對【d^ny/dt^n+an—1·d^n—1y/dt^n—1+···+a0y=0......】方程求解，以得到【y=n∑i=1y^（i）。·e^ait·sin（βit+φi）】這組答案一樣。
如果說對n階方程進行求解還是一個大學生能勉強做到的。
那麼摻雜了擾動、穩定性、不穩定性等實際物理問題的系統求解，別說大學生了，就是研究生、博士生來了都相當困難。
畢竟每多一個干擾狀態，求解的難度都是呈指數級上升的。
尤其是第三小節的末尾，當書中的討論從理想化的線性模型轉向更貼近工程實際的非線性系統時，每一個小節都開始在挑戰他已有的知識邊界了。
當然，這也和他側重學習的領域不同有關係。
畢竟他學習的方向更偏重純數學，且偏向數論和解析數論等方向。
這種更貼近工程實際的線性系統和非線性系統確實不是他的強項。
揉了揉有些發脹的太陽穴，韓川拿起桌上的礦泉水瓶抿了口裡面的冰水，給有點發燙的腦子降降溫。
隨即，他的目光落在變係數線性系統的穩定性分析的頁面上。
這一節的核心是討論當系統的參數不再恆定、而是隨時間或狀態變化時，如何判斷系統的穩定性。
錢老在書中給出了一個基於特徵指數的方法，但這個方法的前提條件是變係數項必須滿足某些嚴格的數學約束。
即這些約束在純數學分析的框架下很容易被當作「理所當然」的前提接受下來，但在工程實踐中，它們往往是不成立的。
而在這裡，錢老引入了一個相當複雜的工程案例。
一個變質量的火箭飛行系統。
即火箭在飛行過程中不斷消耗燃料，總質量隨時間變化，導致描述其運動的微分方程中的係數不再是常數。
書中的推導從最基本的動量守恆定律出發，逐步建立起一個二階變係數非線性微分方程，然後試圖通過變量替換和近似處理來求解這個方程的穩定性條件。
其主項是一個二階非線性微分算子，擾動項包含了質量變化率、氣動阻力係數和推力偏心力矩三個因素的交叉耦合。
錢老在書中給出了這個方程的一個近似解，並註明「在工程允許的誤差範圍內，此近似解可以替代精確解進行系統分析。」
但韓川想試試能不能自己找到這個方程的精確解，有沒有更好的處理辦法。
思索著，他翻開了一頁全新的稿紙，拾起筆，開始嘗試改進積分估計。
「設系統狀態方程為n階變係數非線性微分方程，那麼其一般形式為：」
【d^n y/dt^n + a—{n—1}（t） · d^{n−1}y/dt^{n—1}+...+ a—0（t）y = F（t， y，y， . ..， y^ { （n—1）}）】
「其中a—i（t）是時變係數，F是非線性驅動項。」
按照《工程控制論》第二章第三節的處理方法，他需要對這個方程進行分段線性化近似。
但問題恰恰出在這裡，當變係數的變化速率較大時，分段線性化的截斷誤差在區間邊界上會急劇累積，導致整個近似框架失效。
然後...
然後韓川就將自己成功的卡在了這裡。
卡住他計算的倒不是微積分本身，以他現在在分析學方向的功底，處理這種級別的積分估計本來不應該有太大的困難。
真正讓他卡住的，是算式中的那個變係數項。
在他的控制列框架中，加權函數的構造依賴於對「奇性增長速率」的精確刻畫。
這意味著他需要先知道奇性在邊界層上的增長有多快，然後才能設計出比它更快的衰減機制。
然而在眼前這個變質量火箭系統中，變係數項的行為是高度不規則的。
簡單的來說，就是火箭飛行的時候，是先緩慢加速，然後在一段時間內以指數級提升速度，然後突破大氣層後趨於平緩的。
這意味著在數學上，它不是單調變化的，也不是周期性的，而是在某些區間內劇烈波動，在另一些區間內相對平緩。
這種不規則性使得他無法用一個統一的函數來刻畫它的「增長速率」，因此也就無法按照標準流程來構造加權控制列。
韓川嘗試過用極大值函數來統一控制變係數項的波動範圍，結果是放縮太松，控制列在遠場區域內的收斂速度被拖累到了不實用的程度。
然後他又試了分段構造不同的加權函數，然後在分段邊界上用插值函數做平滑連接。
結果他發現分段數量隨著系統複雜度呈指數增長，到了實際工程系統的規模，這種方法在計算上根本不可行。
兩種短時間能想到的解決方法都走不通。
捏著筆，韓川盯著稿紙上那些被劃掉的公式，陷入了沉思。
頭頂的日光燈管不知道什麼時候亮了起來，發出細微的滋滋聲。
窗外開始漸漸地暗淡了下來，圖書館裡只剩下零星的幾個學生還趴在桌上，遠處偶爾傳來翻書的輕響，很快又歸於沉寂。
世界的邊界不知道什麼時候開始消失了，只剩下文字在眼前流淌，一行一行，無聲地牽引著他的思緒。
直到原本規整印刷字跡突然微微晃動起來。
緊隨其後，這些墨黑的字跡從紙面上浮起來，像是被什麼力量從書本的二維平面中解放出來，變成了一個個立體的、帶著微弱光暈的三維符號。
隨即，一行通透的字跡憑空浮現，凌駕於所有印刷文字之上，清晰地映入韓川的眼帘中。
「你怎麼17歲了，都還沒學會微積分啊？」
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