第46章 橫推二試，驚呆劉興明
此時。
考試時間過去20分鐘。
其餘四人還在對著一試填空題抓耳撓腮的時候，林決已經看完二試第一道大題的題干。
【如圖，設△ABC 內接於圓 γ，∠BAC 的角平分線與 BC 交於點 D，P 為線段 AD 上一點，直線 BP 交 AC 於點 E，直線 CP 交 AB 於點 F，設圓 γ 在點 A 處的切線與直線 EF 交於點 Q；
求證：PQ∥BC。】
看完題干，林決腦海迅速反應出，這是一個典型的三線共點 + 切線 + 平行"問題，適合用同一法結合梅涅勞斯定理和塞瓦定理來證明。
直接證明 PQ∥BC 比較困難，所以林決採用的是同一法。
他笑了笑，抬筆快速寫著。
「過點 P 作直線 l∥BC，交 AB 於 X，交 AC 於 Y，交 AQ 於 Q' 只需證明 Q' 與 Q 重合，即證 E、F、Q' 三點共線。」
再接著，利用位似與切線性質推導比例關係，又是一連串推導後。
得出Q'X/Q'Y = (BD/DC)² 。
下一步，應用塞瓦定理與梅涅勞斯定理。
再接著，轉化比例關係。
最後，再將之前的幾步式子分別代入推導。
【.....(YE/EA)・(AF/FX)・(XQ'/Q'Y) = (DC/BD)²・(BD/DC)² = 1
以上可證：E、F、Q' 三點共線，因此 Q' 就是直線 EF 與 AQ 的交點 Q。
因為 Q' 在過 P 且平行於 BC 的直線上，所以 PQ∥BC。】
6分鐘後，第一道題完成！！！
看著已經寫滿了一整頁的推導過程，林決只覺得神清氣爽，差點忍不住輕哼起來。
這種題才對胃口啊！
在推導過程中只要稍微出現點偏差，便是滿盤皆輸，簡直太刺激了！
簡單檢查一遍，確認整個過程沒有任何紕漏之後，林決迫不及待看向了下一道題。
與此同時。
站在林決旁邊，看著他把整道題做完的劉興明已經懵了。
他抬手看了眼時間。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝑻𝑾看書📕𝒔𝒉𝒖.𝒕𝒘網站，觀看最快的章節更新）
六分鐘啊！這小子六分鐘就做完了二試的一道題！？
要知道，雖然二試總共有四道題，但考試的時間卻有近三個小時啊！
就算第一道是二試中最簡單的，一般競賽生分配到這道題的時間，也要接近半個小時了！
但林決呢！？只用了五分鐘。
更讓劉興明覺得誇張的是，這五分鐘還不是林決的極限。
因為這道題需要書寫的步驟太多了！
在他視角中，林決仿佛是看完提干後，就在腦子裡把整個解題完成了一樣！
而且劉興明剛才仔細看了看。
林決所有的步驟都是正確的，那幾個明顯有陷阱的地方，也被他輕易解決。
劉興明捫心自問，如果是自己第一次面對這道題，恐怕至少也要二十多分鐘才能解出來吧！？
而接下來的時間。
劉興明感覺自己的世界觀正還在被顛覆著。
7分鐘後，第二道題多項式代數題，完成！
在做完這道題後，林決只是輕輕呼出一口氣，臉上沒有一絲絲對這道難題的苦悶，只有對下一道未知難題的期待。
果然！這才是自己想要的酣暢淋漓的戰鬥啊！
又是10分鐘過去，第三道數論完成！
終於，林決直面這張二試卷子的最後一道難題——組合。
林決清楚的知道。
這是二試得分率最低、耗時最長、不確定性最大的模塊。
就算是頂尖的學生做完一道組合題，也需要一個小時以上的時間。
它的難和其他三道題有著本質區別 。
其他模塊是 「用工具解題」，組合是「造工具解題」！
這道題沒有公式，沒有統一的知識框架。
它可能用到抽屜原理，可能用到圖論，再可能用到算兩次，甚至可能根本用不上任何定理......
就算林決學了再多技巧，可能在組合這道題上也沒有一個能用的！
而在看完這道題的題干後。
林決再沒有立馬動筆。
而是罕見的開始思索起來......
他甚至能在腦子裡預演了一遍這道題的過程。
先分三類集合，每類內部用抽屜，再算跨類交集，最後排除 8 種極端反例。
邏輯上肯定是走得通的，林決似乎輕易的抓住了腦海中的那個光點。
但他筆尖紙上寫下第一步後，就沒再寫下去。
如果是這樣的解法，似乎太醜陋了。
不是難，是臃腫。
就像用 100 根細鐵絲擰成一根粗繩，能捆住東西，但毫無美感。
只要漏了任何一個情形，整道題就直接垮掉。
於是，他劃掉剛才寫下的 「分類 1：n≡0 mod 3」。
劉興明見到這一幕，心中也忍不住跟著緊張起來。
這是他第一次看到林決卷面有修改的痕跡，是終於把他難住了嗎！？
不過他不知道的是，林決其實已經在腦子裡把這道題最繁瑣的解法過了一遍！
緊接著，他閉上了眼睛，腦海中的世界好像成了一個由無數字符組成的海洋。
林決踏足於這片海洋之中。
無數的定理，無數的知識碎片從他身邊流淌，他也把【求知】的狀態拉到了極限。
隱約中，林決好像看到無數字符組成一條帶著刺目光芒的道路出現在眼前。
下一刻。
林決猛然睜眼。
「把每個元素都看作有限域 F₃上的一個三維向量呢？」
「把題干里「任意三個元素的和不為 0」這個約束，翻譯成向量語言，不就是不存在三個兩兩正交的向量嗎？」
這個念頭冒出來後，林決的笑容就止不住了。
如此想著，林決終於動筆重新寫下。
第一行，他寫下了一個全場考生都看不懂的開頭：
「引理：設 V 是有限域 F₃上的三維向量空間，則 V 中最多存在 4 個向量，使得其中任意三個向量都不兩兩正交。」
「證明：……」
沒有分類，沒有抽屜，沒有繁瑣的情形討論。
他只是定義了一個向量空間，把原問題中的每個元素對應到一個向量，然後用正交性的基本性質，推導出了向量個數的上界。
整個證明過程只有 5 行，用到的全是線性代數最基礎的定義，沒有任何高深的定理。
但就是這 5 行，把原本需要 3 頁紙的分類討論，壓縮成了一個乾淨利落的結論。
接著是構造。
林決寫出了 4 個向量。
並且驗證了它們滿足正交性條件，然後對應回原問題的元素，構造出了達到上界的例子。
這一步同樣非常簡潔，林決只用了三行。
「最後，是結論了......」
當寫下最後一步後，林決放下筆，又看了一遍整個過程，心中不由得成就感滿滿。
這種頂尖競賽生需要用1個小時才能做完的題，他只用了三分鐘就做完了！
甚至林決還覺得，自己的思路之刁鑽，甚至有可能還沒有人用他剛才的方法去解過這道題.....
念及於此，林決轉頭看了看已經完全傻眼的劉興明，笑道，
「老師，我做完了！」
考試時間過去20分鐘。
其餘四人還在對著一試填空題抓耳撓腮的時候，林決已經看完二試第一道大題的題干。
【如圖，設△ABC 內接於圓 γ，∠BAC 的角平分線與 BC 交於點 D，P 為線段 AD 上一點，直線 BP 交 AC 於點 E，直線 CP 交 AB 於點 F，設圓 γ 在點 A 處的切線與直線 EF 交於點 Q；
求證：PQ∥BC。】
看完題干，林決腦海迅速反應出，這是一個典型的三線共點 + 切線 + 平行"問題，適合用同一法結合梅涅勞斯定理和塞瓦定理來證明。
直接證明 PQ∥BC 比較困難，所以林決採用的是同一法。
他笑了笑，抬筆快速寫著。
「過點 P 作直線 l∥BC，交 AB 於 X，交 AC 於 Y，交 AQ 於 Q' 只需證明 Q' 與 Q 重合，即證 E、F、Q' 三點共線。」
再接著，利用位似與切線性質推導比例關係，又是一連串推導後。
得出Q'X/Q'Y = (BD/DC)² 。
下一步，應用塞瓦定理與梅涅勞斯定理。
再接著，轉化比例關係。
最後，再將之前的幾步式子分別代入推導。
【.....(YE/EA)・(AF/FX)・(XQ'/Q'Y) = (DC/BD)²・(BD/DC)² = 1
以上可證：E、F、Q' 三點共線，因此 Q' 就是直線 EF 與 AQ 的交點 Q。
因為 Q' 在過 P 且平行於 BC 的直線上，所以 PQ∥BC。】
6分鐘後，第一道題完成！！！
看著已經寫滿了一整頁的推導過程，林決只覺得神清氣爽，差點忍不住輕哼起來。
這種題才對胃口啊！
在推導過程中只要稍微出現點偏差，便是滿盤皆輸，簡直太刺激了！
簡單檢查一遍，確認整個過程沒有任何紕漏之後，林決迫不及待看向了下一道題。
與此同時。
站在林決旁邊，看著他把整道題做完的劉興明已經懵了。
他抬手看了眼時間。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝑻𝑾看書📕𝒔𝒉𝒖.𝒕𝒘網站，觀看最快的章節更新）
六分鐘啊！這小子六分鐘就做完了二試的一道題！？
要知道，雖然二試總共有四道題，但考試的時間卻有近三個小時啊！
就算第一道是二試中最簡單的，一般競賽生分配到這道題的時間，也要接近半個小時了！
但林決呢！？只用了五分鐘。
更讓劉興明覺得誇張的是，這五分鐘還不是林決的極限。
因為這道題需要書寫的步驟太多了！
在他視角中，林決仿佛是看完提干後，就在腦子裡把整個解題完成了一樣！
而且劉興明剛才仔細看了看。
林決所有的步驟都是正確的，那幾個明顯有陷阱的地方，也被他輕易解決。
劉興明捫心自問，如果是自己第一次面對這道題，恐怕至少也要二十多分鐘才能解出來吧！？
而接下來的時間。
劉興明感覺自己的世界觀正還在被顛覆著。
7分鐘後，第二道題多項式代數題，完成！
在做完這道題後，林決只是輕輕呼出一口氣，臉上沒有一絲絲對這道難題的苦悶，只有對下一道未知難題的期待。
果然！這才是自己想要的酣暢淋漓的戰鬥啊！
又是10分鐘過去，第三道數論完成！
終於，林決直面這張二試卷子的最後一道難題——組合。
林決清楚的知道。
這是二試得分率最低、耗時最長、不確定性最大的模塊。
就算是頂尖的學生做完一道組合題，也需要一個小時以上的時間。
它的難和其他三道題有著本質區別 。
其他模塊是 「用工具解題」，組合是「造工具解題」！
這道題沒有公式，沒有統一的知識框架。
它可能用到抽屜原理，可能用到圖論，再可能用到算兩次，甚至可能根本用不上任何定理......
就算林決學了再多技巧，可能在組合這道題上也沒有一個能用的！
而在看完這道題的題干後。
林決再沒有立馬動筆。
而是罕見的開始思索起來......
他甚至能在腦子裡預演了一遍這道題的過程。
先分三類集合，每類內部用抽屜，再算跨類交集，最後排除 8 種極端反例。
邏輯上肯定是走得通的，林決似乎輕易的抓住了腦海中的那個光點。
但他筆尖紙上寫下第一步後，就沒再寫下去。
如果是這樣的解法，似乎太醜陋了。
不是難，是臃腫。
就像用 100 根細鐵絲擰成一根粗繩，能捆住東西，但毫無美感。
只要漏了任何一個情形，整道題就直接垮掉。
於是，他劃掉剛才寫下的 「分類 1：n≡0 mod 3」。
劉興明見到這一幕，心中也忍不住跟著緊張起來。
這是他第一次看到林決卷面有修改的痕跡，是終於把他難住了嗎！？
不過他不知道的是，林決其實已經在腦子裡把這道題最繁瑣的解法過了一遍！
緊接著，他閉上了眼睛，腦海中的世界好像成了一個由無數字符組成的海洋。
林決踏足於這片海洋之中。
無數的定理，無數的知識碎片從他身邊流淌，他也把【求知】的狀態拉到了極限。
隱約中，林決好像看到無數字符組成一條帶著刺目光芒的道路出現在眼前。
下一刻。
林決猛然睜眼。
「把每個元素都看作有限域 F₃上的一個三維向量呢？」
「把題干里「任意三個元素的和不為 0」這個約束，翻譯成向量語言，不就是不存在三個兩兩正交的向量嗎？」
這個念頭冒出來後，林決的笑容就止不住了。
如此想著，林決終於動筆重新寫下。
第一行，他寫下了一個全場考生都看不懂的開頭：
「引理：設 V 是有限域 F₃上的三維向量空間，則 V 中最多存在 4 個向量，使得其中任意三個向量都不兩兩正交。」
「證明：……」
沒有分類，沒有抽屜，沒有繁瑣的情形討論。
他只是定義了一個向量空間，把原問題中的每個元素對應到一個向量，然後用正交性的基本性質，推導出了向量個數的上界。
整個證明過程只有 5 行，用到的全是線性代數最基礎的定義，沒有任何高深的定理。
但就是這 5 行，把原本需要 3 頁紙的分類討論，壓縮成了一個乾淨利落的結論。
接著是構造。
林決寫出了 4 個向量。
並且驗證了它們滿足正交性條件，然後對應回原問題的元素，構造出了達到上界的例子。
這一步同樣非常簡潔，林決只用了三行。
「最後，是結論了......」
當寫下最後一步後，林決放下筆，又看了一遍整個過程，心中不由得成就感滿滿。
這種頂尖競賽生需要用1個小時才能做完的題，他只用了三分鐘就做完了！
甚至林決還覺得，自己的思路之刁鑽，甚至有可能還沒有人用他剛才的方法去解過這道題.....
念及於此，林決轉頭看了看已經完全傻眼的劉興明，笑道，
「老師，我做完了！」