第370章 舊講義
第370章 舊講義
第二天上午，陳拙到范恩樓的時候，走廊里很安靜。
雪已經停了兩天，窗外的樹枝上還掛著一點沒有化乾淨的白，陽光從高窗斜著落進來，把走廊地面照出幾塊很淡的形狀。
范恩樓在冬天總是有一種乾燥的舊紙味。
不是圖書館那種混著咖啡和人聲的味道，而是粉筆，木地板，舊講義和暖氣片一起烘出來的味道。
陳拙推開辦公室門時，裡面的黑板還保持著他前一天離開時的樣子。
左邊是常數C答辯用的幾行邊界條件。
右邊則是霍奇草稿。
兩邊隔得很開，像兩個並不打算互相打擾的世界。
陳拙脫下大衣，把圍巾搭在椅背上。
深藍色的圍巾落在椅子上，和桌角那摞灰白色草稿放在一起，顯得有些不太屬於這裡。
他沒有立刻坐下，而是先走到黑板前。
常數C那邊的內容已經沒有太多需要修改的地方。
波士頓那場報告，普林斯頓白皮書，後續的幾輪討論，都已經把它反覆敲過O
現在再看，反倒像一件已經裝配完成的機器，零件都在，螺絲也擰緊，只等有人走過來照例檢查一遍。
陳拙看了一會兒，拿起黑板擦，把那幾行字輕輕擦掉。
粉筆灰落下來，在黑板下沿積了一層淺淺的白。
然後他轉向右邊。
那裡只剩下一句話。
找到那個能把影子拽出來的抓手。
陳拙站在這句話前，看了很久。
辦公室門外傳來兩聲很輕的敲門聲。
他回過頭。
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伍利站在門口，手裡抱著一摞舊講義。
「我可以進來嗎？」
「可以。」
伍利走進來，把那摞講義放到靠門的小桌上。
講義很舊，封皮邊緣已經卷了起來，最上面那本用專門的紙包著，右上角貼著一張發黃的標籤。
「皮埃爾教授讓我送來的。」
伍利拍了拍封面上的灰。
「你前幾天問過七十年代那套關於正規函數和代數循環的內部講義，檔案室翻出來了幾本，不太全。」
陳拙走過去，低頭看了一眼。
封面上寫著一行已經有些褪色的字。
關於正規函數與代數循環的註記。
字母是打字機打出來的，有幾個地方墨跡很淡，像是被時間一點點咬掉了邊O
「謝謝。」
「不客氣。
伍利看了一眼黑板。
「答辯材料還需要我再複印一份嗎？」
「不用了。」
伍利點點頭。
他沒有多問，只把講義旁邊幾張散頁整理齊，轉身離開，門重新關上以後，辦公室里又安靜下來。
陳拙拿起最上面那本舊講義。
紙頁一翻開，裡面有一種很淡的霉味，不是難聞，只是像一間很久沒有開過窗的房間，突然被人推開了一條縫。
第一頁有一行手寫的批註。
墨水已經變成了暗褐色。
他辨認了一會兒，才看清那句話。
Not every shadow admits a handle.
不是每一道影子，都承認一個抓手。
陳拙的手停在紙頁邊緣。
他看著那行字，忽然笑了一下。
這句話寫得有些不講道理。
但不講道理得很準確。
他把講義拿到桌邊坐下，翻到目錄，裡面的內容並不完整，有幾頁缺失，有幾頁被水漬暈開，某些公式只剩下半行，可是留下來的部分依然能看出當年那位講授者的思路。
正規函數，中間雅可比簇，代數循環，邊界，退化，消失...
這些詞在舊紙頁上排著隊，像一批已經走過很遠路的人，重新從灰塵里站起來。
陳拙看得很慢。
他不是在找答案。
真正的答案不會被某本舊講義完整地放在那裡，等著後來的人翻到第幾頁拿走。
如果有這種好事，霍奇猜想就不至於在數學史上卡那麼多年。
他只是在找一種舊的走法。
看別人曾經在哪些地方摔過，哪些地方繞過去過，哪些地方看似有橋，走近才發現只是水面上的倒影。
翻到第三十七頁時，陳拙停了下來。
那一頁中間有一幅很簡單的圖。
不是嚴格意義上的幾何圖形，更像是講課時為了說明問題隨手畫的示意圖。
一條橫線。
橫線下面是一個陰影區域。
橫線上方畫著幾個小鉤子，其中一個鉤子伸進陰影里，卻沒有碰到任何東西。
旁邊寫著：
障礙不在於能否看見，而在於能否接上。
陳拙盯著那個詞。
能不能接上。
他忽然想起了盧克的那截紫銅管。
上次，盧克抱著帳本坐在禮拜堂長椅邊，問他半磅怎麼算。
那孩子一開始以為廢品站買的是他的管子。
是那截帶著銅鏽，邊緣不平從某個廢棄機器上拆下來的東西。
可廢品站買的不是管子。
買的是重量。
管子只是物體。
重量才是能被秤接住的東西。
如果沒有重量這個接口，那截紫銅管再怎麼真實，也只能是盧克懷裡一件說不清價錢的東西，邁克站在櫃檯後面說什麼，它就是什麼。
陳拙放下講義，站起身，拿起粉筆。
他在黑板上寫下：
對象。
重量。
價格。
寫完以後，又把這三個詞靜靜看了一會兒。
這不是數學。
至少不是范恩樓里通常意義上的數學。
可是它很有用。
一截管子，必須先通過重量進入廢品站的計算規則，才能得到價格。
霍奇類也是一樣。
影子在那裡。
常數C可以照亮它，定位它，甚至逼近它。
但照亮不等於接上。
他在黑板另一邊寫：
霍奇類。
？
代數循環。
那個問號寫得很輕，像是故意不願意把它寫重。
常數C給出的，不是那個問號本身，它像一盞燈，把原本模糊的輪廓照到足夠清楚，讓人知道影子大概在哪裡，邊界大概在哪裡，異常大概從哪裡冒出來。
但真正要解決霍奇猜想，還需要一個能被代數世界承認的接口。
一個類似重量的東西。
不是影子本身。
而是讓影子能夠被秤接住的量。
陳拙站在黑板前，手裡的粉筆遲遲沒有落下。
辦公室里的暖氣片發出一聲很輕的響動，像是什麼金屬在熱脹冷縮中慢慢舒展開。
他低頭看了一眼自己的手。
指尖沾著一點粉筆灰。
那天在特倫頓禮拜堂里，盧克的帳本也沾了粉筆灰，那本薄薄的小本子被他塞進寬大的舊西裝內側，護得比餅乾還緊。
因為餅乾只能吃掉。
帳本卻能讓邁克說過的話留下來。
記錄。
重量。
半磅。
能被拆開，也能被寫下來。
陳拙走回桌邊，在霍奇草稿的空白處寫下一行字。
不是繼續尋找影子的位置，而是尋找它進入代數結構的記錄方式。
寫完以後，他停了停，又把記錄方式四個字輕輕劃掉，換成了另一個說法。
接入方式。
這個詞更準確一點。
也更接近那本舊講義里寫的能否接上。
陳拙重新翻開那本舊講義。
後面的幾頁討論了正規函數的奇點行為。
講義寫得很古老，許多符號已經不是現在最常用的記法，某些地方甚至顯得笨拙。
但笨拙有笨拙的好處，它不會把問題包裝得太漂亮，反倒能讓某些原始的困難露出來。
他看到一段關於退化族的討論。
講義上說，當代數循環沿著族運動時，它的正規函數會在特殊點附近留下痕跡，那些痕跡不一定直接給出循環本身，卻可能暴露出某種無法消失的邊界。
陳拙拿起筆，在旁邊寫。
邊界不是循環，但可能提示循環如何被接住。
寫到這裡，他停了一下。
然後又在下面補了一句。
常數C負責定位邊界，接入方式負責把邊界翻譯成代數對象。
這句話還很粗糙。
粗糙得像盧克第一次寫下的brass。
字母歪斜，格子也不整齊，但能認出來。
能認出來，就已經有用。
陳拙盯著那行字看了幾秒，忽然覺得這個比喻有點過於生活化，甚至不太適合寫進正式草稿里。
不過他沒有劃掉。
有些想法一開始都很不像樣。
先留下來。
中午前，皮埃爾過來了一趟。
他沒有敲門，只是把門推開一半，手裡端著茶杯，像是路過，又像是專門來看一眼陳拙有沒有忘記時間。
看到黑板上的對象，重量，價格，又看到另一邊的霍奇類與代數周期，皮埃爾站在門口停了兩秒。
「我是不是錯過了什麼跨學科會議？」
陳拙回頭。
「沒有。」
皮埃爾走進來，茶杯里的熱氣慢慢往上飄。
他看了一眼舊講義。
「這本東西還能看？」
「有些地方能。
「有些地方？」
皮埃爾挑了挑眉。
陳拙沒有接這個玩笑。
他用粉筆點了點黑板上的重量。
「我在想，照亮一個東西，和把它放到秤上，不是一回事。」
皮埃爾端著茶杯的手頓了一下。
他沒有立刻說話。
這對皮埃爾來說很少見。
過了幾秒，他才慢慢走到黑板前，看著那幾行並不漂亮的字。
「秤？」
「只是比喻。」
「比喻通常比公式危險。」皮埃爾說。
「但有時候也比公式誠實。」
他看著那個問號。
「霍奇類與代數周期中間的這個東西，你打算叫它什麼？」
「還不知道。」
陳拙放下粉筆。
「暫時只是接入方式。」
皮埃爾低聲重複了一遍。
「接入方式。」
他喝了一口茶，臉上的神情一點點認真起來。
「你不打算把常數C繼續往前推？」
「常數C可以推，但它不應該被用來假裝自己就是代數循環。」
陳拙看著黑板。
「它已經做了它能做的事情，繼續往前，問題不在於影子夠不夠清楚，而在於有沒有東西能把它接到代數那邊。」
皮埃爾看了他一眼。
這一次，他沒有笑。
辦公室里安靜了片刻。
窗外的陽光從樹枝間落下來，在地板上緩慢地挪動了一點。
皮埃爾把茶杯放到桌邊，伸手拿起那本舊講義，看了看那頁畫著鉤子的示意圖。
「這本講義當年沒什麼人喜歡。」
「為什麼？」
「太不漂亮。」皮埃爾說。
「那時候很多人更喜歡乾淨的定理，漂亮的敘述，最好每一個箭頭都看起來像是從天堂垂下來的。」
他用手指點了點那幅簡陋的圖。
「這種鉤子，看起來太像車庫裡的工具。」
陳拙想了想。
「工具有時候比天堂有用。」
皮埃爾看著他，忽然笑了。
「這句話最好不要在正式場合說，有不少我的老朋友看我多少還是有點不太順眼的。」
「我知道。」
皮埃爾把講義放回桌上，又看了一眼牆上的鐘。
「十二點二十。」
陳拙順著他的視線看過去。
離十二點半還有十分鐘。
皮埃爾端起茶杯，語氣重新變得輕鬆。
「我不是來催你的。」
陳拙看著他。
皮埃爾補充。
「我是來提醒你，瑪蒂爾達可能會催我。」
陳拙把粉筆放回槽里。
「那確實比較嚴重。」
他合上舊講義，把寫了新想法的那幾頁草稿壓在書下，沒有帶走，常數C答辯文件仍然規規矩矩地放在桌角，像一件已經完成的工作。
霍奇草稿則被他重新整理了一遍。
最上面那頁，原本只有一句找到那個能把影子拽出來的抓手。
現在下面多了一行字。
不是更亮的影子。
而是能接住它的秤。
陳拙看了那行字一眼，沒有再改。
他拿起大衣，把深藍色圍巾重新圍好，和皮埃爾一起走出辦公室。
走廊里陽光很淡，地板上仍然有一股舊紙和粉筆混在一起的味道。
皮埃爾走在旁邊，忽然問。
「這個想法，是從哪裡來的？」
陳拙想了想。
「一截管子。」
皮埃爾停了一下。
「一截管子？」
「嗯。」
陳拙把圍巾整理了一下，語氣很平靜。
「半磅的。」
皮埃爾看著他，似乎想問，但最後沒有問出口。
他只是端著茶杯，跟著陳拙往樓梯方向走。
有些問題不急著問。
就像有些抓手，也不是在黑板前硬想就能立刻想出來。
不過至少今天，黑板上的那個問號旁邊，已經多了一點不那麼模糊的東西。
它還不能證明什麼。
但能被寫下來。
這就已經比昨天多了一步。
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第二天上午，陳拙到范恩樓的時候，走廊里很安靜。
雪已經停了兩天，窗外的樹枝上還掛著一點沒有化乾淨的白，陽光從高窗斜著落進來，把走廊地面照出幾塊很淡的形狀。
范恩樓在冬天總是有一種乾燥的舊紙味。
不是圖書館那種混著咖啡和人聲的味道，而是粉筆，木地板，舊講義和暖氣片一起烘出來的味道。
陳拙推開辦公室門時，裡面的黑板還保持著他前一天離開時的樣子。
左邊是常數C答辯用的幾行邊界條件。
右邊則是霍奇草稿。
兩邊隔得很開，像兩個並不打算互相打擾的世界。
陳拙脫下大衣，把圍巾搭在椅背上。
深藍色的圍巾落在椅子上，和桌角那摞灰白色草稿放在一起，顯得有些不太屬於這裡。
他沒有立刻坐下，而是先走到黑板前。
常數C那邊的內容已經沒有太多需要修改的地方。
波士頓那場報告，普林斯頓白皮書，後續的幾輪討論，都已經把它反覆敲過O
現在再看，反倒像一件已經裝配完成的機器，零件都在，螺絲也擰緊，只等有人走過來照例檢查一遍。
陳拙看了一會兒，拿起黑板擦，把那幾行字輕輕擦掉。
粉筆灰落下來，在黑板下沿積了一層淺淺的白。
然後他轉向右邊。
那裡只剩下一句話。
找到那個能把影子拽出來的抓手。
陳拙站在這句話前，看了很久。
辦公室門外傳來兩聲很輕的敲門聲。
他回過頭。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝕿𝖂看書網→𝖘𝖍𝖚.𝖙𝖜網站，觀看最快的章節更新）
伍利站在門口，手裡抱著一摞舊講義。
「我可以進來嗎？」
「可以。」
伍利走進來，把那摞講義放到靠門的小桌上。
講義很舊，封皮邊緣已經卷了起來，最上面那本用專門的紙包著，右上角貼著一張發黃的標籤。
「皮埃爾教授讓我送來的。」
伍利拍了拍封面上的灰。
「你前幾天問過七十年代那套關於正規函數和代數循環的內部講義，檔案室翻出來了幾本，不太全。」
陳拙走過去，低頭看了一眼。
封面上寫著一行已經有些褪色的字。
關於正規函數與代數循環的註記。
字母是打字機打出來的，有幾個地方墨跡很淡，像是被時間一點點咬掉了邊O
「謝謝。」
「不客氣。
伍利看了一眼黑板。
「答辯材料還需要我再複印一份嗎？」
「不用了。」
伍利點點頭。
他沒有多問，只把講義旁邊幾張散頁整理齊，轉身離開，門重新關上以後，辦公室里又安靜下來。
陳拙拿起最上面那本舊講義。
紙頁一翻開，裡面有一種很淡的霉味，不是難聞，只是像一間很久沒有開過窗的房間，突然被人推開了一條縫。
第一頁有一行手寫的批註。
墨水已經變成了暗褐色。
他辨認了一會兒，才看清那句話。
Not every shadow admits a handle.
不是每一道影子，都承認一個抓手。
陳拙的手停在紙頁邊緣。
他看著那行字，忽然笑了一下。
這句話寫得有些不講道理。
但不講道理得很準確。
他把講義拿到桌邊坐下，翻到目錄，裡面的內容並不完整，有幾頁缺失，有幾頁被水漬暈開，某些公式只剩下半行，可是留下來的部分依然能看出當年那位講授者的思路。
正規函數，中間雅可比簇，代數循環，邊界，退化，消失...
這些詞在舊紙頁上排著隊，像一批已經走過很遠路的人，重新從灰塵里站起來。
陳拙看得很慢。
他不是在找答案。
真正的答案不會被某本舊講義完整地放在那裡，等著後來的人翻到第幾頁拿走。
如果有這種好事，霍奇猜想就不至於在數學史上卡那麼多年。
他只是在找一種舊的走法。
看別人曾經在哪些地方摔過，哪些地方繞過去過，哪些地方看似有橋，走近才發現只是水面上的倒影。
翻到第三十七頁時，陳拙停了下來。
那一頁中間有一幅很簡單的圖。
不是嚴格意義上的幾何圖形，更像是講課時為了說明問題隨手畫的示意圖。
一條橫線。
橫線下面是一個陰影區域。
橫線上方畫著幾個小鉤子，其中一個鉤子伸進陰影里，卻沒有碰到任何東西。
旁邊寫著：
障礙不在於能否看見，而在於能否接上。
陳拙盯著那個詞。
能不能接上。
他忽然想起了盧克的那截紫銅管。
上次，盧克抱著帳本坐在禮拜堂長椅邊，問他半磅怎麼算。
那孩子一開始以為廢品站買的是他的管子。
是那截帶著銅鏽，邊緣不平從某個廢棄機器上拆下來的東西。
可廢品站買的不是管子。
買的是重量。
管子只是物體。
重量才是能被秤接住的東西。
如果沒有重量這個接口，那截紫銅管再怎麼真實，也只能是盧克懷裡一件說不清價錢的東西，邁克站在櫃檯後面說什麼，它就是什麼。
陳拙放下講義，站起身，拿起粉筆。
他在黑板上寫下：
對象。
重量。
價格。
寫完以後，又把這三個詞靜靜看了一會兒。
這不是數學。
至少不是范恩樓里通常意義上的數學。
可是它很有用。
一截管子，必須先通過重量進入廢品站的計算規則，才能得到價格。
霍奇類也是一樣。
影子在那裡。
常數C可以照亮它，定位它，甚至逼近它。
但照亮不等於接上。
他在黑板另一邊寫：
霍奇類。
？
代數循環。
那個問號寫得很輕，像是故意不願意把它寫重。
常數C給出的，不是那個問號本身，它像一盞燈，把原本模糊的輪廓照到足夠清楚，讓人知道影子大概在哪裡，邊界大概在哪裡，異常大概從哪裡冒出來。
但真正要解決霍奇猜想，還需要一個能被代數世界承認的接口。
一個類似重量的東西。
不是影子本身。
而是讓影子能夠被秤接住的量。
陳拙站在黑板前，手裡的粉筆遲遲沒有落下。
辦公室里的暖氣片發出一聲很輕的響動，像是什麼金屬在熱脹冷縮中慢慢舒展開。
他低頭看了一眼自己的手。
指尖沾著一點粉筆灰。
那天在特倫頓禮拜堂里，盧克的帳本也沾了粉筆灰，那本薄薄的小本子被他塞進寬大的舊西裝內側，護得比餅乾還緊。
因為餅乾只能吃掉。
帳本卻能讓邁克說過的話留下來。
記錄。
重量。
半磅。
能被拆開，也能被寫下來。
陳拙走回桌邊，在霍奇草稿的空白處寫下一行字。
不是繼續尋找影子的位置，而是尋找它進入代數結構的記錄方式。
寫完以後，他停了停，又把記錄方式四個字輕輕劃掉，換成了另一個說法。
接入方式。
這個詞更準確一點。
也更接近那本舊講義里寫的能否接上。
陳拙重新翻開那本舊講義。
後面的幾頁討論了正規函數的奇點行為。
講義寫得很古老，許多符號已經不是現在最常用的記法，某些地方甚至顯得笨拙。
但笨拙有笨拙的好處，它不會把問題包裝得太漂亮，反倒能讓某些原始的困難露出來。
他看到一段關於退化族的討論。
講義上說，當代數循環沿著族運動時，它的正規函數會在特殊點附近留下痕跡，那些痕跡不一定直接給出循環本身，卻可能暴露出某種無法消失的邊界。
陳拙拿起筆，在旁邊寫。
邊界不是循環，但可能提示循環如何被接住。
寫到這裡，他停了一下。
然後又在下面補了一句。
常數C負責定位邊界，接入方式負責把邊界翻譯成代數對象。
這句話還很粗糙。
粗糙得像盧克第一次寫下的brass。
字母歪斜，格子也不整齊，但能認出來。
能認出來，就已經有用。
陳拙盯著那行字看了幾秒，忽然覺得這個比喻有點過於生活化，甚至不太適合寫進正式草稿里。
不過他沒有劃掉。
有些想法一開始都很不像樣。
先留下來。
中午前，皮埃爾過來了一趟。
他沒有敲門，只是把門推開一半，手裡端著茶杯，像是路過，又像是專門來看一眼陳拙有沒有忘記時間。
看到黑板上的對象，重量，價格，又看到另一邊的霍奇類與代數周期，皮埃爾站在門口停了兩秒。
「我是不是錯過了什麼跨學科會議？」
陳拙回頭。
「沒有。」
皮埃爾走進來，茶杯里的熱氣慢慢往上飄。
他看了一眼舊講義。
「這本東西還能看？」
「有些地方能。
「有些地方？」
皮埃爾挑了挑眉。
陳拙沒有接這個玩笑。
他用粉筆點了點黑板上的重量。
「我在想，照亮一個東西，和把它放到秤上，不是一回事。」
皮埃爾端著茶杯的手頓了一下。
他沒有立刻說話。
這對皮埃爾來說很少見。
過了幾秒，他才慢慢走到黑板前，看著那幾行並不漂亮的字。
「秤？」
「只是比喻。」
「比喻通常比公式危險。」皮埃爾說。
「但有時候也比公式誠實。」
他看著那個問號。
「霍奇類與代數周期中間的這個東西，你打算叫它什麼？」
「還不知道。」
陳拙放下粉筆。
「暫時只是接入方式。」
皮埃爾低聲重複了一遍。
「接入方式。」
他喝了一口茶，臉上的神情一點點認真起來。
「你不打算把常數C繼續往前推？」
「常數C可以推，但它不應該被用來假裝自己就是代數循環。」
陳拙看著黑板。
「它已經做了它能做的事情，繼續往前，問題不在於影子夠不夠清楚，而在於有沒有東西能把它接到代數那邊。」
皮埃爾看了他一眼。
這一次，他沒有笑。
辦公室里安靜了片刻。
窗外的陽光從樹枝間落下來，在地板上緩慢地挪動了一點。
皮埃爾把茶杯放到桌邊，伸手拿起那本舊講義，看了看那頁畫著鉤子的示意圖。
「這本講義當年沒什麼人喜歡。」
「為什麼？」
「太不漂亮。」皮埃爾說。
「那時候很多人更喜歡乾淨的定理，漂亮的敘述，最好每一個箭頭都看起來像是從天堂垂下來的。」
他用手指點了點那幅簡陋的圖。
「這種鉤子，看起來太像車庫裡的工具。」
陳拙想了想。
「工具有時候比天堂有用。」
皮埃爾看著他，忽然笑了。
「這句話最好不要在正式場合說，有不少我的老朋友看我多少還是有點不太順眼的。」
「我知道。」
皮埃爾把講義放回桌上，又看了一眼牆上的鐘。
「十二點二十。」
陳拙順著他的視線看過去。
離十二點半還有十分鐘。
皮埃爾端起茶杯，語氣重新變得輕鬆。
「我不是來催你的。」
陳拙看著他。
皮埃爾補充。
「我是來提醒你，瑪蒂爾達可能會催我。」
陳拙把粉筆放回槽里。
「那確實比較嚴重。」
他合上舊講義，把寫了新想法的那幾頁草稿壓在書下，沒有帶走，常數C答辯文件仍然規規矩矩地放在桌角，像一件已經完成的工作。
霍奇草稿則被他重新整理了一遍。
最上面那頁，原本只有一句找到那個能把影子拽出來的抓手。
現在下面多了一行字。
不是更亮的影子。
而是能接住它的秤。
陳拙看了那行字一眼，沒有再改。
他拿起大衣，把深藍色圍巾重新圍好，和皮埃爾一起走出辦公室。
走廊里陽光很淡，地板上仍然有一股舊紙和粉筆混在一起的味道。
皮埃爾走在旁邊，忽然問。
「這個想法，是從哪裡來的？」
陳拙想了想。
「一截管子。」
皮埃爾停了一下。
「一截管子？」
「嗯。」
陳拙把圍巾整理了一下，語氣很平靜。
「半磅的。」
皮埃爾看著他，似乎想問，但最後沒有問出口。
他只是端著茶杯，跟著陳拙往樓梯方向走。
有些問題不急著問。
就像有些抓手，也不是在黑板前硬想就能立刻想出來。
不過至少今天，黑板上的那個問號旁邊，已經多了一點不那麼模糊的東西。
它還不能證明什麼。
但能被寫下來。
這就已經比昨天多了一步。
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