第234章 李氏猜想
這個conjecture。
像是一個人走到懸崖邊上，既沒帶繩子，也沒帶扣環，就這麼往空中一指……
說這兒能過去。
一時間，朗蘭茲竟然有些晃神。
他這輩子看過無數的conjecture。
有些conjecture是漂亮的，需要你眯著眼，把裡面那點巧妙的結構看出來。
有些conjecture是笨的，直接拿證據堆出來的，看一眼就知道它想說什麼。
但像眼前這一個……
他是第一次見。
剛剛那七十六頁，是李東給它打下的地基。
而這張a4紙上的幾行字。
讓他隱隱約約看到了一棟大廈。 這座大廈很高很大。
他只能仰望。
看不清輪廓。
「幾乎處處相等嗎……」
朗蘭茲的嘴裡像在叨念著這幾個字。
幾乎處處相等。
實分析里最樸素不過的四個字。
可是這四個字落在這兒，分量卻是很重。
對關聯函數，承載的是零點的統計信息。
而零點的統計信息，是自守l函數最深的、最後才被人看到的那一面。
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兩個歐拉乘積不一樣的自守l函數，零點集合會幾乎處處重合？
朗蘭茲的第一反應是…… 不可能。
可他沒急著把這張紙放下。
他又看了看手中的a4紙。
弗蘭克就坐在對面。
沒有說話。
只是把第五杯咖啡，輕輕放到了老人的手邊。
朗蘭茲下意識地伸手去摸桌上的鋼筆。
他想試一試。
這種東西，就是一個conjecture，是不是還能做一些很小的驗證啊？
朗蘭茲說不準。
但他總歸要伸手碰一碰，才知道它是一碰就破，還是一碰就立。
他抽過一張白紙，把鋼筆的套一擰開。 最先寫下的，是一個所有人都熟得不能再熟的情形。
循環基變換。
gl(2)在一個循環擴張e/f下的基變換，這是1989年他自己的學生亞瑟和克洛澤爾就已經幹完的事情。
π是gl(2，a_f)的一個尖點自守表示。
e/f是循環擴張，伽羅瓦群由一個特徵x生成。
π的基變換π_e的l函數，可以寫成π被x的各次方扭後的l函數的乘積。
l(s，π_e)=nl(s，π?x^k)
朗蘭茲的筆在「n」這個符號上停了一下。
他要驗證的是充要條件里的必要那一半。
在這個已經被證明的特例里，李東那張紙上的結論應該是自洽的……
π_e既然是π的轉移，那它們的對關聯函數就應該幾乎處處相等。
老人很慢地在紙上算。 l(s，π_e)的零點集，是那幾個l(s，π?x^k)零點集的並。
π_e的對關聯函數f_{π_e}(a)，形式上應該分成兩部分。
一部分，是每一個l(s，π?x^k)自身零點內部的對相關。
這些跟f_π(a)形狀是一樣的，因為扭乘不改變gue普適性。
另一部分，是不同的l(s，π?x^k)的零點彼此交叉的相關項。
朗蘭茲的筆停住了。
這個交叉項。
按李東的判據，它在[0，4/n]區間裡應該消散成……
他慢慢地往後算。
算到一半。
他眉頭輕輕皺了一下。
弗蘭克看著他那皺起來的眉毛。 心也跟著提了起來。
又過了幾分鐘。
朗蘭茲那緊皺著的眉頭，才慢慢地鬆開。
交叉項里，那個本來讓他覺得不對勁的地方，在李東那個e_v≤n的分歧指數限制下，會被狠狠地壓下去。
壓到幾乎處處為零。
朗蘭茲輕輕「嗯」了一聲。
必要方向的這一半，在循環基變換這個特例上，是立得住的。
但這還不夠。
因為必要方向太容易了。
函子性一旦成立，l函數相等，零點就相等，對關聯函數自然也相等。
真正讓他想伸手碰一碰的，是反過來的那一半。
兩個尖點自守表示，只要它們的對關聯函數幾乎處處相等，就一定由函子性關聯起來？ 朗蘭茲拿起了一張紙。
他打算找一個反例。
一個一碰就能把這個猜想戳穿的反例。
他第一個想到的，是兩個伽羅瓦共軛的自守表示。
它們的l函數乍看之下很像，但它們之間的轉移並不屬於朗蘭茲函子性里任何一個l-同態。
朗蘭茲笑了一下。
他覺得
自己這下，一伸手就能把這個看似完美的猜想戳破。
他低下頭，筆在紙上飛快的寫著，把兩個表示的對關聯函數一步步拆解、計算。
前後不到十分鐘。
老人手裡的筆，輕輕落在了紙上。
結果完全出乎他的意料。 這對看似天衣無縫的共軛表示，在李東的零點判據下，它們的對關聯函數根本做不到「幾乎處處相等」。
在一個極窄卻關鍵的區間裡，兩組數值會徹底分開，差異清晰到根本無法忽略。
它連猜想的核心前提都滿足不了，根本沒資格當反例。
朗蘭茲又換了一張白紙。
他試了第二個業內最刁鑽的漏洞武器：cap表示。
這東西是個徹頭徹尾的偽裝者。
它長得和符合要求的尖點自守表示幾乎一模一樣，很容易混進前提條件里，但它本質上是從更小的群上殘餘下來的「偽尖點」，天生就不符合朗蘭茲函子性的要求。
無數同行的工作，都因為沒防住這個偽裝者，最後功虧一簣。
可這一次，筆還沒寫幾行，朗蘭茲就停住了。
他甚至不用完整算完，就已經在心裡得出了結果。
李東的猜想，在進門的第一步就設了一道鐵閘。
「兩者均滿足自守表示局部-整體相容性的零點判據」。 這個偽裝者，連這第一道安檢都過不了，直接被攔在了門外，連碰一碰猜想核心結論的資格都沒有。
弗蘭克就坐在對面，安靜地看著這一切。
其實他自己，早在四天前就已經對著這張a4紙，幹過同樣的事情。
他當時挑了幾個自己最熟的情形，想把這個conjecture戳破。
結果戳了整整一個下午。
戳完以後，他坐在辦公室里，望著窗外發呆了整整半個小時。
然後他才下決心，買了普林斯頓的機票。
此時朗蘭茲又換了一張紙。
這一回，他試的是一個更刁鑽的情形……
在非平凡l-同態下，兩個表示在絕大多數局部位上局部匹配，唯獨在有限個壞位上出問題的情形。
這種東西，在傳統的跡公式方法裡是最麻煩的。
但李東這個conjecture不走跡公式。 它走的是零點對關聯。
零點對關聯是整體的東西，不看某一個壞位。
朗蘭茲看著手上算出來的那幾行。
半晌沒動。
最後他放下筆。
「了不起。」
老人低聲說。
「真的了不起啊。」
他抬起頭，看向弗蘭克。
「弗蘭克。」
「我這邊，沒有任何問題。」
弗蘭克整個人僵了一下。 他其實早有預感。
但是從朗蘭茲本人嘴裡聽到這句話，還是不一樣。
那意味著。
這個conjecture，至少在他這個層面上，一碰沒破，反而立住了。
以後這個conjecture，可以叫做「李氏猜想」了。
弗蘭克默默地點了點頭，站了起來。
他看了一眼桌上那杯又涼了的咖啡，又看了一眼牆上那口老鍾。
從上午進門到現在，老爺子幾乎沒怎麼站起來過。
光是論文就看了四個小時。
後面這張a4紙，又在紙上算了大半個小時。
弗蘭克很想繼續和他聊。
聊這張a4紙，聊這整篇論文，聊李東這個年輕人。 但他不能再聊了。
朗蘭茲這把身子，可扛不住這麼長時間的工作。
「教授。」
弗蘭克壓低了聲音。
「那我就不打擾您休息了。」
朗蘭茲點了點頭。
「論文我先收著。」
「評語我過幾天再寫過去。」
「好。」
弗蘭克彎了彎腰，拎起公文包，快步的離開。
他知道自己接下來得馬上回芝加哥。
論文要正式進《數學年刊》的同行評審流程，除了朗蘭茲，其他幾位能看這個方向的外審，也得儘早發函。 一位在ihes，一位在mit，還有一位在牛津。
像是一個人走到懸崖邊上，既沒帶繩子，也沒帶扣環，就這麼往空中一指……
說這兒能過去。
一時間，朗蘭茲竟然有些晃神。
他這輩子看過無數的conjecture。
有些conjecture是漂亮的，需要你眯著眼，把裡面那點巧妙的結構看出來。
有些conjecture是笨的，直接拿證據堆出來的，看一眼就知道它想說什麼。
但像眼前這一個……
他是第一次見。
剛剛那七十六頁，是李東給它打下的地基。
而這張a4紙上的幾行字。
讓他隱隱約約看到了一棟大廈。 這座大廈很高很大。
他只能仰望。
看不清輪廓。
「幾乎處處相等嗎……」
朗蘭茲的嘴裡像在叨念著這幾個字。
幾乎處處相等。
實分析里最樸素不過的四個字。
可是這四個字落在這兒，分量卻是很重。
對關聯函數，承載的是零點的統計信息。
而零點的統計信息，是自守l函數最深的、最後才被人看到的那一面。
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兩個歐拉乘積不一樣的自守l函數，零點集合會幾乎處處重合？
朗蘭茲的第一反應是…… 不可能。
可他沒急著把這張紙放下。
他又看了看手中的a4紙。
弗蘭克就坐在對面。
沒有說話。
只是把第五杯咖啡，輕輕放到了老人的手邊。
朗蘭茲下意識地伸手去摸桌上的鋼筆。
他想試一試。
這種東西，就是一個conjecture，是不是還能做一些很小的驗證啊？
朗蘭茲說不準。
但他總歸要伸手碰一碰，才知道它是一碰就破，還是一碰就立。
他抽過一張白紙，把鋼筆的套一擰開。 最先寫下的，是一個所有人都熟得不能再熟的情形。
循環基變換。
gl(2)在一個循環擴張e/f下的基變換，這是1989年他自己的學生亞瑟和克洛澤爾就已經幹完的事情。
π是gl(2，a_f)的一個尖點自守表示。
e/f是循環擴張，伽羅瓦群由一個特徵x生成。
π的基變換π_e的l函數，可以寫成π被x的各次方扭後的l函數的乘積。
l(s，π_e)=nl(s，π?x^k)
朗蘭茲的筆在「n」這個符號上停了一下。
他要驗證的是充要條件里的必要那一半。
在這個已經被證明的特例里，李東那張紙上的結論應該是自洽的……
π_e既然是π的轉移，那它們的對關聯函數就應該幾乎處處相等。
老人很慢地在紙上算。 l(s，π_e)的零點集，是那幾個l(s，π?x^k)零點集的並。
π_e的對關聯函數f_{π_e}(a)，形式上應該分成兩部分。
一部分，是每一個l(s，π?x^k)自身零點內部的對相關。
這些跟f_π(a)形狀是一樣的，因為扭乘不改變gue普適性。
另一部分，是不同的l(s，π?x^k)的零點彼此交叉的相關項。
朗蘭茲的筆停住了。
這個交叉項。
按李東的判據，它在[0，4/n]區間裡應該消散成……
他慢慢地往後算。
算到一半。
他眉頭輕輕皺了一下。
弗蘭克看著他那皺起來的眉毛。 心也跟著提了起來。
又過了幾分鐘。
朗蘭茲那緊皺著的眉頭，才慢慢地鬆開。
交叉項里，那個本來讓他覺得不對勁的地方，在李東那個e_v≤n的分歧指數限制下，會被狠狠地壓下去。
壓到幾乎處處為零。
朗蘭茲輕輕「嗯」了一聲。
必要方向的這一半，在循環基變換這個特例上，是立得住的。
但這還不夠。
因為必要方向太容易了。
函子性一旦成立，l函數相等，零點就相等，對關聯函數自然也相等。
真正讓他想伸手碰一碰的，是反過來的那一半。
兩個尖點自守表示，只要它們的對關聯函數幾乎處處相等，就一定由函子性關聯起來？ 朗蘭茲拿起了一張紙。
他打算找一個反例。
一個一碰就能把這個猜想戳穿的反例。
他第一個想到的，是兩個伽羅瓦共軛的自守表示。
它們的l函數乍看之下很像，但它們之間的轉移並不屬於朗蘭茲函子性里任何一個l-同態。
朗蘭茲笑了一下。
他覺得
自己這下，一伸手就能把這個看似完美的猜想戳破。
他低下頭，筆在紙上飛快的寫著，把兩個表示的對關聯函數一步步拆解、計算。
前後不到十分鐘。
老人手裡的筆，輕輕落在了紙上。
結果完全出乎他的意料。 這對看似天衣無縫的共軛表示，在李東的零點判據下，它們的對關聯函數根本做不到「幾乎處處相等」。
在一個極窄卻關鍵的區間裡，兩組數值會徹底分開，差異清晰到根本無法忽略。
它連猜想的核心前提都滿足不了，根本沒資格當反例。
朗蘭茲又換了一張白紙。
他試了第二個業內最刁鑽的漏洞武器：cap表示。
這東西是個徹頭徹尾的偽裝者。
它長得和符合要求的尖點自守表示幾乎一模一樣，很容易混進前提條件里，但它本質上是從更小的群上殘餘下來的「偽尖點」，天生就不符合朗蘭茲函子性的要求。
無數同行的工作，都因為沒防住這個偽裝者，最後功虧一簣。
可這一次，筆還沒寫幾行，朗蘭茲就停住了。
他甚至不用完整算完，就已經在心裡得出了結果。
李東的猜想，在進門的第一步就設了一道鐵閘。
「兩者均滿足自守表示局部-整體相容性的零點判據」。 這個偽裝者，連這第一道安檢都過不了，直接被攔在了門外，連碰一碰猜想核心結論的資格都沒有。
弗蘭克就坐在對面，安靜地看著這一切。
其實他自己，早在四天前就已經對著這張a4紙，幹過同樣的事情。
他當時挑了幾個自己最熟的情形，想把這個conjecture戳破。
結果戳了整整一個下午。
戳完以後，他坐在辦公室里，望著窗外發呆了整整半個小時。
然後他才下決心，買了普林斯頓的機票。
此時朗蘭茲又換了一張紙。
這一回，他試的是一個更刁鑽的情形……
在非平凡l-同態下，兩個表示在絕大多數局部位上局部匹配，唯獨在有限個壞位上出問題的情形。
這種東西，在傳統的跡公式方法裡是最麻煩的。
但李東這個conjecture不走跡公式。 它走的是零點對關聯。
零點對關聯是整體的東西，不看某一個壞位。
朗蘭茲看著手上算出來的那幾行。
半晌沒動。
最後他放下筆。
「了不起。」
老人低聲說。
「真的了不起啊。」
他抬起頭，看向弗蘭克。
「弗蘭克。」
「我這邊，沒有任何問題。」
弗蘭克整個人僵了一下。 他其實早有預感。
但是從朗蘭茲本人嘴裡聽到這句話，還是不一樣。
那意味著。
這個conjecture，至少在他這個層面上，一碰沒破，反而立住了。
以後這個conjecture，可以叫做「李氏猜想」了。
弗蘭克默默地點了點頭，站了起來。
他看了一眼桌上那杯又涼了的咖啡，又看了一眼牆上那口老鍾。
從上午進門到現在，老爺子幾乎沒怎麼站起來過。
光是論文就看了四個小時。
後面這張a4紙，又在紙上算了大半個小時。
弗蘭克很想繼續和他聊。
聊這張a4紙，聊這整篇論文，聊李東這個年輕人。 但他不能再聊了。
朗蘭茲這把身子，可扛不住這麼長時間的工作。
「教授。」
弗蘭克壓低了聲音。
「那我就不打擾您休息了。」
朗蘭茲點了點頭。
「論文我先收著。」
「評語我過幾天再寫過去。」
「好。」
弗蘭克彎了彎腰，拎起公文包，快步的離開。
他知道自己接下來得馬上回芝加哥。
論文要正式進《數學年刊》的同行評審流程，除了朗蘭茲，其他幾位能看這個方向的外審，也得儘早發函。 一位在ihes，一位在mit，還有一位在牛津。