第44章 收刀入鞘
8：00。
「各位考生，現在開始答題。」監考老師的聲音發出。
「嘩啦啦。」
所有人開始動了。
陳遲的卷子鋪平在桌面上，紙張的觸感光滑而乾淨。
【第二屆全國華羅庚金杯少年數學邀請賽遼東賽區試卷——中學組】
整張卷子簡直空的要命。
沒有密密麻麻的一行行選擇、填空。
六道大題。
三個小時。
這就是省賽。
它的目的不是市賽那樣，靠速度和準確率進行海量篩選。
這份卷子要考的是思維縱深。
它一共就六道題，雖然少，但重的像六座大山，橫在所有人的眼前。
每一座山爬過去了就是爬過去了，爬不過去就是爬不過去。
沒有選擇題可以蒙，沒有填空可以猜。
每一步推導都要落在紙面上，每一個結論都要有前提撐著。
閱卷老師會順著你的解題軌跡一路看下來。
在哪個節點出了岔子，就在哪個節點把你的分數截斷。
時間一分一秒的過去。
考場裡的做題氛圍卻沒變得熱烈起來。
空氣幾乎是沉默的寂靜。
一開始還有人寫算，但現在，似乎只有斷斷續續的幾聲筆落在試卷上的聲音。
大部分人都是把筆握在手裡，偶爾在草稿紙上點了幾下，或是在卷子上寫個「解」字，之後再想寫點什麼出來比從身上擠出奶都困難。
坐在陳遲前方的是一名來自撫市的女學生。
從市賽中脫穎而出以後，她對競賽的難度有了預判，參加這次省賽，她自以為心中有數。
可現在看著面前的這份試卷，看著第一道題目，在腦海中推算一會兒以後，她長長的嘆了一口氣。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問TW看書網網站，觀看最快的章節更新）
「ctm啊。」
「這都是啥啊......」
第一題的題目相當簡單。
只有一個二元二次方程。
但是題目越短，事情越大。
因為它現在要求的是這兩個未知數的值，給出一組正整數解就可以。
到這裡問題還不算太大。
但再仔細一看，等式右邊寫了一個龐然大物——八位數！
這個女生在看清楚這個八位數的第一瞬間就直接懵掉了。
因為這道題一眼看過去真的找不到任何技巧。
似乎只能靠猜，看看能不能猜出一組x和y的解，讓他等於那個八位數的值。
而想猜出這麼一組正整數......
真的全靠運氣。
除了運氣，就剩下科技。
上Java、python或者c#......
或者豆包、ChatGpt、Deepseek......
可，時代還沒變。
沒有運氣、沒有科技，按照常規的方法來枚舉，純靠手算的話......
這個計算量就太恐怖了！
省賽的學生們當然也不會笨到只靠猜。
他們當然能意識到。
這道題里，出題人的目的是要他們看穿這個八位數的本質。
這一定是個因式分解問題。
但具體怎麼分解。
這正是困住大部分考生的一步。
「呼......哈......」
深呼吸的聲音，此起彼伏，接連不斷。
但這些考場上不斷發出的噪音，不會順著陳遲的耳朵傳入中樞神經。
他已來到了獨屬於他的世界邊緣。
「（256，4403）」
「（344，4397）」
「（581，4372）」
「......」
在所有考生和出題人勾心鬥角的時候，陳遲的視網膜前緩慢跳動著一組組的數字。
每一組，都是這個二元二次方程的一組正整數解。
「唉。」
陳遲嘆了口氣。
不是難。
而是擁有這種能力的他。
碰上這種題。
真的很無聊。
他可以隨手選一組答案寫上去。
但那麼做這道題的話，好像也太沒意義了。
於是他握著筆，寫下一行式子：
（ac+bd）²+（ad-bc）²=（a²+b²）（c²+d²）
婆羅摩笈多-斐波那契恆等式。
他將八位數拆解為兩個整數的乘積。
然後再將兩個整數，拆解為兩個數平方的和。
代入代數恆等式，直接得到一組正整數解：
x=4403
y=256
秒了。
帶上解字，一共寫了四行。
從婆羅摩笈多-斐波那契恆等式開始，到代入拆解，到最後的x，y結果，整道題只占了答題區不到三分之一的空白。
全程用時不超30秒。
關鍵不在於公式。
婆羅摩笈多-斐波那契恆等式並不偏門，會的學生很多，就算不知道，拉格朗日恆等式照樣能解題。
關鍵是對數字的感覺。
要看穿這個八位數，不靠運氣的話，大部分學生就算能做到，也要花費大量的時間。
陳遲不一樣。
他看穿這個八位數。
只需一眼。
「呼。」
前面的女生又長嘆了口氣，眉頭始終擰著沒有展開過。
她已經放下筆了，整個人坐佛似得坐在位子上，眼觀鼻，鼻觀口。
她看向那道題。
越看越沒頭緒。
越看越絕望。
她開始猶豫，在這種因式分解無望的時刻，要不要轉而枚舉，海量計算來得出結果。
左腦這樣，右腦那樣，兩種思路絕不會齊頭並進，而是在腦袋裡開始打架，把整個腦海打成一鍋粥、一團漿糊。
一片混亂之中，時間就像是加快了流逝速度。
等女生渾濁的雙眸再次明亮起來，她抬頭看表，驚恐的發現分針已經轉了15分鐘。
「嘶......呼......」
喘息聲更重了。
而就在這個時候，背後傳來一聲清亮的「嘩啦」，那是試卷翻動的聲音。
那代表著她身後的考生，做題進度已經快到要做第二頁。
女生滿眼驚恐的抬起頭。
她想轉過去看一眼，但她不能。
然而這還不是最災難的。
當她開始關注自己背後的聲音，她就能聽到連續不斷的「篤篤篤」。
那是筆尖隔著試卷觸碰到桌子所發出的輕微敲擊聲，代表著那個人在飛速的計算、推導，思路沒有一絲的停隔。
擺在陳遲面前的，是這張試卷的第四題。
這是一道數列題。
陳遲用的解題方法並不難，反證法、歸納法、集合......
這些東西就算是普通的高中生來了，也基本上都能看懂，都很常見，在這樣一場競賽里，絕對沒人說這道題是超綱的。
因為它不考察任何高深的知識點。
和前面的題目一樣，它唯一需要的就是你有數學想像力。
因為這道題沒有多少邏輯和技巧可言，它就考你看到這道題，能不能猜出來或是靈光一現。
你腦海里那條線接上了。
那就連通了，這分你拿。
你接不上。
那就卡死在那，只能沒頭蒼蠅一樣亂撞。
b2/b1＜（2+1）/1
bn/b1＜n（n+1）/2
陳遲握著鋼筆，「唰唰」的寫著，答題部分已經寫滿了將近三分之二。
從這裡推到那裡，又推出上面。
繁複而嚴謹的證明。
密密麻麻的往後寫。
這種唰唰的寫字聲，在這個死寂到近乎絕望的考場裡，分外刺耳。
尤其是坐在前排的那個女生，從她開始關注那個聲音，那個帶著某種奇特韻律的聲音就再沒在她的耳邊停止過。
焦躁。
不安。
手，放在了頭皮上，不斷的摳動，等她意識到的時候，指尖已經沾了一層薄薄的油汗，指縫裡嵌著幾根掉下來的碎發。
她再看向鐘錶。
時間的流逝不會緩解一絲她的不安，而是把壓力加重、放大。
女生徹底放下了筆，趴在了桌子上，沒人知道她在哭，還是別的什麼。
沒人在意。
陳遲更不會在意。
他完全沉浸在數學的世界裡。
第六題。
最後一題。
作為壓軸的是一道幾何題，出題人畫了一個凸四邊形和兩個圓組成的複雜圖形。
求證四點共圓。
陳遲看到這道題的第一瞬間就覺得。
出題人給的干擾線段太多了。
那麼多的圓，那麼多的線。
哪有那麼複雜？
太多的冗餘元素可以消去了。
陳遲知道出題人的想法，他大概是要考生靈感一現，想出一種極精妙的幾何方法，用作平行線和相似三角形來證明。
但他不打算那麼做。
在他的數學思維里。
審美支配一切。
出題人搞出這麼丑的東西，那是他的錯，而不是考生的錯。
考生沒有那個義務對著這個丑東西做題。
丑的東西就該先被優化。
於是他搬出正弦定理，幾行計算證明懟上去。
圓沒了。
點沒了。
原本複雜的幾何圖形。
現在就剩下一個光禿禿的凸四邊形。
陳遲放下尺子，嘴角微微上揚。
現在他滿意了。
這道題也徹底清晰明了。
利用分角定理和平行線分線段成比例定理計算就完事兒了。
於是他開始動筆。
證明：
設BP，DQ交CA於I，I』，∠BAD內四個小角為∠1，∠2，∠3，∠4。
則θ=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BPA。
......
△ABI中，由正弦定理得AI=ABxsin∠1/sin∠3，同理AI』=ADxsin∠2/sin∠4。
∴AI=AI』，即I，I』重合。
則IPxIB=IA²=IQxIQ
即PBDQ四點共圓。
沒有精妙至極的幾何方法，甚至沒用到太多的幾何性質和方法，相似、共圓都沒用上。
頂多用了點簡單的圓冪知識。
非要說什麼最關鍵，那大概是陳遲把出題人給「砍」了。
哦不，是出題人的圖形。
證畢。
陳遲鬆了口氣。
看著面前已經被密密麻麻推導填滿的卷子，他十指交攏，稍稍的活動了下手腕、手指。
看了眼手錶。
9點25分。
周圍空氣里充斥著一種令人窒息的平靜。
考試進行到現在，人仰馬翻無數。
大部分人現在都在發呆。
也有人在雙手顫抖著，在草稿紙上一遍遍無意義的重算。
每算一遍。
絕望更增加一分。
「咔嚓。」
陳遲蓋上鋼筆的筆帽，聲音利落乾脆如收刀入鞘。
幾個聽到聲音的學生驚恐的朝著陳遲看去。
一片寂靜之中，那一根根早已繃到極限的弦。
應聲而斷。
......
......
......
「各位考生，現在開始答題。」監考老師的聲音發出。
「嘩啦啦。」
所有人開始動了。
陳遲的卷子鋪平在桌面上，紙張的觸感光滑而乾淨。
【第二屆全國華羅庚金杯少年數學邀請賽遼東賽區試卷——中學組】
整張卷子簡直空的要命。
沒有密密麻麻的一行行選擇、填空。
六道大題。
三個小時。
這就是省賽。
它的目的不是市賽那樣，靠速度和準確率進行海量篩選。
這份卷子要考的是思維縱深。
它一共就六道題，雖然少，但重的像六座大山，橫在所有人的眼前。
每一座山爬過去了就是爬過去了，爬不過去就是爬不過去。
沒有選擇題可以蒙，沒有填空可以猜。
每一步推導都要落在紙面上，每一個結論都要有前提撐著。
閱卷老師會順著你的解題軌跡一路看下來。
在哪個節點出了岔子，就在哪個節點把你的分數截斷。
時間一分一秒的過去。
考場裡的做題氛圍卻沒變得熱烈起來。
空氣幾乎是沉默的寂靜。
一開始還有人寫算，但現在，似乎只有斷斷續續的幾聲筆落在試卷上的聲音。
大部分人都是把筆握在手裡，偶爾在草稿紙上點了幾下，或是在卷子上寫個「解」字，之後再想寫點什麼出來比從身上擠出奶都困難。
坐在陳遲前方的是一名來自撫市的女學生。
從市賽中脫穎而出以後，她對競賽的難度有了預判，參加這次省賽，她自以為心中有數。
可現在看著面前的這份試卷，看著第一道題目，在腦海中推算一會兒以後，她長長的嘆了一口氣。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問TW看書網網站，觀看最快的章節更新）
「ctm啊。」
「這都是啥啊......」
第一題的題目相當簡單。
只有一個二元二次方程。
但是題目越短，事情越大。
因為它現在要求的是這兩個未知數的值，給出一組正整數解就可以。
到這裡問題還不算太大。
但再仔細一看，等式右邊寫了一個龐然大物——八位數！
這個女生在看清楚這個八位數的第一瞬間就直接懵掉了。
因為這道題一眼看過去真的找不到任何技巧。
似乎只能靠猜，看看能不能猜出一組x和y的解，讓他等於那個八位數的值。
而想猜出這麼一組正整數......
真的全靠運氣。
除了運氣，就剩下科技。
上Java、python或者c#......
或者豆包、ChatGpt、Deepseek......
可，時代還沒變。
沒有運氣、沒有科技，按照常規的方法來枚舉，純靠手算的話......
這個計算量就太恐怖了！
省賽的學生們當然也不會笨到只靠猜。
他們當然能意識到。
這道題里，出題人的目的是要他們看穿這個八位數的本質。
這一定是個因式分解問題。
但具體怎麼分解。
這正是困住大部分考生的一步。
「呼......哈......」
深呼吸的聲音，此起彼伏，接連不斷。
但這些考場上不斷發出的噪音，不會順著陳遲的耳朵傳入中樞神經。
他已來到了獨屬於他的世界邊緣。
「（256，4403）」
「（344，4397）」
「（581，4372）」
「......」
在所有考生和出題人勾心鬥角的時候，陳遲的視網膜前緩慢跳動著一組組的數字。
每一組，都是這個二元二次方程的一組正整數解。
「唉。」
陳遲嘆了口氣。
不是難。
而是擁有這種能力的他。
碰上這種題。
真的很無聊。
他可以隨手選一組答案寫上去。
但那麼做這道題的話，好像也太沒意義了。
於是他握著筆，寫下一行式子：
（ac+bd）²+（ad-bc）²=（a²+b²）（c²+d²）
婆羅摩笈多-斐波那契恆等式。
他將八位數拆解為兩個整數的乘積。
然後再將兩個整數，拆解為兩個數平方的和。
代入代數恆等式，直接得到一組正整數解：
x=4403
y=256
秒了。
帶上解字，一共寫了四行。
從婆羅摩笈多-斐波那契恆等式開始，到代入拆解，到最後的x，y結果，整道題只占了答題區不到三分之一的空白。
全程用時不超30秒。
關鍵不在於公式。
婆羅摩笈多-斐波那契恆等式並不偏門，會的學生很多，就算不知道，拉格朗日恆等式照樣能解題。
關鍵是對數字的感覺。
要看穿這個八位數，不靠運氣的話，大部分學生就算能做到，也要花費大量的時間。
陳遲不一樣。
他看穿這個八位數。
只需一眼。
「呼。」
前面的女生又長嘆了口氣，眉頭始終擰著沒有展開過。
她已經放下筆了，整個人坐佛似得坐在位子上，眼觀鼻，鼻觀口。
她看向那道題。
越看越沒頭緒。
越看越絕望。
她開始猶豫，在這種因式分解無望的時刻，要不要轉而枚舉，海量計算來得出結果。
左腦這樣，右腦那樣，兩種思路絕不會齊頭並進，而是在腦袋裡開始打架，把整個腦海打成一鍋粥、一團漿糊。
一片混亂之中，時間就像是加快了流逝速度。
等女生渾濁的雙眸再次明亮起來，她抬頭看表，驚恐的發現分針已經轉了15分鐘。
「嘶......呼......」
喘息聲更重了。
而就在這個時候，背後傳來一聲清亮的「嘩啦」，那是試卷翻動的聲音。
那代表著她身後的考生，做題進度已經快到要做第二頁。
女生滿眼驚恐的抬起頭。
她想轉過去看一眼，但她不能。
然而這還不是最災難的。
當她開始關注自己背後的聲音，她就能聽到連續不斷的「篤篤篤」。
那是筆尖隔著試卷觸碰到桌子所發出的輕微敲擊聲，代表著那個人在飛速的計算、推導，思路沒有一絲的停隔。
擺在陳遲面前的，是這張試卷的第四題。
這是一道數列題。
陳遲用的解題方法並不難，反證法、歸納法、集合......
這些東西就算是普通的高中生來了，也基本上都能看懂，都很常見，在這樣一場競賽里，絕對沒人說這道題是超綱的。
因為它不考察任何高深的知識點。
和前面的題目一樣，它唯一需要的就是你有數學想像力。
因為這道題沒有多少邏輯和技巧可言，它就考你看到這道題，能不能猜出來或是靈光一現。
你腦海里那條線接上了。
那就連通了，這分你拿。
你接不上。
那就卡死在那，只能沒頭蒼蠅一樣亂撞。
b2/b1＜（2+1）/1
bn/b1＜n（n+1）/2
陳遲握著鋼筆，「唰唰」的寫著，答題部分已經寫滿了將近三分之二。
從這裡推到那裡，又推出上面。
繁複而嚴謹的證明。
密密麻麻的往後寫。
這種唰唰的寫字聲，在這個死寂到近乎絕望的考場裡，分外刺耳。
尤其是坐在前排的那個女生，從她開始關注那個聲音，那個帶著某種奇特韻律的聲音就再沒在她的耳邊停止過。
焦躁。
不安。
手，放在了頭皮上，不斷的摳動，等她意識到的時候，指尖已經沾了一層薄薄的油汗，指縫裡嵌著幾根掉下來的碎發。
她再看向鐘錶。
時間的流逝不會緩解一絲她的不安，而是把壓力加重、放大。
女生徹底放下了筆，趴在了桌子上，沒人知道她在哭，還是別的什麼。
沒人在意。
陳遲更不會在意。
他完全沉浸在數學的世界裡。
第六題。
最後一題。
作為壓軸的是一道幾何題，出題人畫了一個凸四邊形和兩個圓組成的複雜圖形。
求證四點共圓。
陳遲看到這道題的第一瞬間就覺得。
出題人給的干擾線段太多了。
那麼多的圓，那麼多的線。
哪有那麼複雜？
太多的冗餘元素可以消去了。
陳遲知道出題人的想法，他大概是要考生靈感一現，想出一種極精妙的幾何方法，用作平行線和相似三角形來證明。
但他不打算那麼做。
在他的數學思維里。
審美支配一切。
出題人搞出這麼丑的東西，那是他的錯，而不是考生的錯。
考生沒有那個義務對著這個丑東西做題。
丑的東西就該先被優化。
於是他搬出正弦定理，幾行計算證明懟上去。
圓沒了。
點沒了。
原本複雜的幾何圖形。
現在就剩下一個光禿禿的凸四邊形。
陳遲放下尺子，嘴角微微上揚。
現在他滿意了。
這道題也徹底清晰明了。
利用分角定理和平行線分線段成比例定理計算就完事兒了。
於是他開始動筆。
證明：
設BP，DQ交CA於I，I』，∠BAD內四個小角為∠1，∠2，∠3，∠4。
則θ=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BPA。
......
△ABI中，由正弦定理得AI=ABxsin∠1/sin∠3，同理AI』=ADxsin∠2/sin∠4。
∴AI=AI』，即I，I』重合。
則IPxIB=IA²=IQxIQ
即PBDQ四點共圓。
沒有精妙至極的幾何方法，甚至沒用到太多的幾何性質和方法，相似、共圓都沒用上。
頂多用了點簡單的圓冪知識。
非要說什麼最關鍵，那大概是陳遲把出題人給「砍」了。
哦不，是出題人的圖形。
證畢。
陳遲鬆了口氣。
看著面前已經被密密麻麻推導填滿的卷子，他十指交攏，稍稍的活動了下手腕、手指。
看了眼手錶。
9點25分。
周圍空氣里充斥著一種令人窒息的平靜。
考試進行到現在，人仰馬翻無數。
大部分人現在都在發呆。
也有人在雙手顫抖著，在草稿紙上一遍遍無意義的重算。
每算一遍。
絕望更增加一分。
「咔嚓。」
陳遲蓋上鋼筆的筆帽，聲音利落乾脆如收刀入鞘。
幾個聽到聲音的學生驚恐的朝著陳遲看去。
一片寂靜之中，那一根根早已繃到極限的弦。
應聲而斷。
......
......
......