第56章 好壞的題目
【設x0∈(0，1)為最小值點，即f(x0)=-1，且由費馬引理知f'(x0)=0】
【對f(0)和f(1)在x0處，分別作帶拉格朗日餘項的一階泰勒展開式……】
【將題目條件代入，0=-1+0+f''(ξ1)(0-x0)²/2】
【得到兩個點的二階導數值，設M=maxf''(x)，顯然M必須同時大於等於這兩個值。】
【......】
【任何滿足條件的函數，其二階導的最大值至少是8】
【構造函數f(x)=4x²-4x】
【驗證條件，f(0)=0，f(1)=0；最小值點f'(x)=0，x=0.5......】
【最終可得，該函數maxf''(x)=……】
【8】
余源停下筆，看了眼時間。
好巧不巧，和答案最後得到的數字一樣，寫完這些，一共花了8分鐘。
作為第一題，這時間可不算短了。
甚至可以說有點長了。
「好複雜的證明過程。」一旁，看著余源寫下的過程，林清淺小聲道。
她看完題目後，隱隱間也感覺到這題需要證明。
但沒想到，真證明下來，會這麼複雜。
要知道這只是第一題……理論上來說，這應該是卷子裡最簡單的一道題了。
「其實不這麼複雜也能做出來。」
余源劃掉檢驗過程：「省略所有的驗證步驟，直接舉特例，f(x)=4x²-4x，導兩次，十秒內就能做出來。」
壞消息，這樣做的話，過程不對，只有答案是對的。
好消息，這是填空題，本來也不用寫過程。
只能說，出題老頭充分利用了考生的心理。
能參加決賽的考生，肯定都是有水平的。
他們一眼就能看出題目中的條件，不足以支撐直接使用特例函數的。
直接使用特例函數，不去驗證條件的話……很可能會出錯。
而競賽的題量不多，決賽甚至比初賽還要少一道填空題。
所以即便是一道填空題，占比的分數也不小。
也就更沒人敢直接用特例賭了。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問 TW 看書網書海量，𝐬𝐡𝐮.𝐭𝐰任你挑 網站，觀看最快的章節更新）
基本上都會寫過程，仔細驗證一遍。
而當他們辛辛苦苦的驗證完，就會發現……
誒，如果直接用特例函數，答案還真就是對的。
這就是出題老頭的惡趣味。
他確實可以設計出陷阱，不讓這麼明顯的特例存在。
但他偏偏不這麼做。
這就導致了，要麼讓你膽戰心驚的猜對答案；要麼讓你白費工夫的驗證條件。
橫豎都能搞到你心態。
並且由於這是第一題，所以不管怎樣，都能一直噁心你到整場考試結束。
林清淺歪了歪腦袋，經過余源的點撥，她也意識到了出題老師的想法，不由地小聲道：
「好壞的題目。」
果然題目發明出來都是為了難為人的。
「你還要往下看麼？」余源開口道，「後面幾道題應該會更難一些。」
第一題只是搞搞心態，只能說有點惡趣味，難度還算適中。
後面的題，難度肯定會直線上升。
畢竟決賽卷子，填空五題加上大題六題，一共就十一道題。
拿一道題專門用來搞心態就夠奢侈了。
「不了，你看吧。」林清淺輕輕搖頭。
光是這一題，就已經讓她感受到了決賽的難度了。
哪怕余源在旁邊，那種題感特別好的狀態又回來了，她也沒信心能做出來。
想到這，她悄悄看了眼余源。
余源看上去，好像沒什麼壓力的樣子。
林清淺想起余源在採訪里說的，他會通關競賽……也就是拿到國獎。
評論區裡面，其實有不少評論都是看衰余源的……雖然這些人的評論最後都莫名其妙的消失了。
不過林清淺還是看到了。
她和這些人，持完全相反的想法。
她非常看好余源。
····
····
與此同時，余源此刻已經看向第二題了。
【設常數α＞0，則廣義積分
0→+∞∫cosαx/(x^4+4)dx=____】
如他所想的那般，從第二題開始，難度就上來了。
雖然表面看上去，第二題就是個樸實無華的定積分。
但，大道至簡。
在這種難度的卷子上，越是這種看上去很樸素的題目，其實給人的壓力就越大。
就像是面對老實人一樣，乍一看，毫無威脅。
實際上對方真要是豁出去了，威脅極大。
定積分就是這種類型的典範。
實話說，世界上絕大多數的定積分，其實壓根就是沒法用人力算出來的。
只能依靠計算機去計算。
但偏偏，計算定積分是必考的內容。
這就導致了，這些出現在題目里的定積分。
往往是由出題人通過答案，倒推設計出來的。
很多時候，都要依靠「瞪眼法」。
也就是第一眼能看出來怎麼做，就能做出來。
第一眼要是沒看出來該怎麼做……那就麻煩了，說明你還不夠敏感。
還好，余源這人就挺敏感的。
倒不是因為身體原因，而是因為他有0.5點的數理直覺。
「這個定積分……如果用留數法的話…好像會很簡單？」
觀察片刻後，余源有了思路。
留數法是余源前兩天在工程數學書《複變函數與積分變換》中，學到的一種計算定積分的方法。
這種方法，無論是在《高等數學》中還是在《數學分析》中，都沒提到。
放幾天前，在余源也不知道這方法的情況下，做這道題，或許會費勁許多。
但現在，既然知道留數法了，這題對他的複雜程度直線驟減。
「看來，學那幾本工程數學，除了多給了我1點悟性外，對這次競賽也並非沒有幫助。」
余源一邊感嘆，一邊提筆開始計算。
五分鐘後。
【原式=πe^(-α)(sin1+cos1)/8e】
余源長舒一口氣。
找對了方法，即使這題更難一些，花費的時間也比第一題要少了許多。
兩題下來，余源的信心也充足了不少。
所以接下來的半個小時裡，他一口氣做完了剩下的三道填空題。
這其中，最後一道填空壓軸題，是一道線性代數的題目，余源雖然做出來了，但也不是很有把握。
一方面，關於《線性代數》的延伸升級版本的《高等代數》，他還沒完全看完。
另一方面，這道壓軸題除了考察線代外，題目中還涉及了一些工程應用上的結論。
即便余源有0.5點數理直覺以及初級的同伴靈感，對於這種沒涉獵過的東西，也沒法保證能做對。
只能說，不愧是決賽，題目確實有含金量。
「話說，這種卷子，有人能做全對嗎？」余源有些懷疑。
單純的難倒也就算了，可這壓軸題，可以說出的是又難又超綱。
不過也沒辦法，如果不把題目搞得足夠複雜，恐怕也很難起到篩選作用。
這麼想著，余源掏出手機，打開一個神秘軟體，查詢信息。
【豆包豆包，請你用最直白，最不亂編的數據告訴我，歷年全國大學生數學競賽中，一共有多少個滿分？】
【對f(0)和f(1)在x0處，分別作帶拉格朗日餘項的一階泰勒展開式……】
【將題目條件代入，0=-1+0+f''(ξ1)(0-x0)²/2】
【得到兩個點的二階導數值，設M=maxf''(x)，顯然M必須同時大於等於這兩個值。】
【......】
【任何滿足條件的函數，其二階導的最大值至少是8】
【構造函數f(x)=4x²-4x】
【驗證條件，f(0)=0，f(1)=0；最小值點f'(x)=0，x=0.5......】
【最終可得，該函數maxf''(x)=……】
【8】
余源停下筆，看了眼時間。
好巧不巧，和答案最後得到的數字一樣，寫完這些，一共花了8分鐘。
作為第一題，這時間可不算短了。
甚至可以說有點長了。
「好複雜的證明過程。」一旁，看著余源寫下的過程，林清淺小聲道。
她看完題目後，隱隱間也感覺到這題需要證明。
但沒想到，真證明下來，會這麼複雜。
要知道這只是第一題……理論上來說，這應該是卷子裡最簡單的一道題了。
「其實不這麼複雜也能做出來。」
余源劃掉檢驗過程：「省略所有的驗證步驟，直接舉特例，f(x)=4x²-4x，導兩次，十秒內就能做出來。」
壞消息，這樣做的話，過程不對，只有答案是對的。
好消息，這是填空題，本來也不用寫過程。
只能說，出題老頭充分利用了考生的心理。
能參加決賽的考生，肯定都是有水平的。
他們一眼就能看出題目中的條件，不足以支撐直接使用特例函數的。
直接使用特例函數，不去驗證條件的話……很可能會出錯。
而競賽的題量不多，決賽甚至比初賽還要少一道填空題。
所以即便是一道填空題，占比的分數也不小。
也就更沒人敢直接用特例賭了。
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問 TW 看書網書海量，𝐬𝐡𝐮.𝐭𝐰任你挑 網站，觀看最快的章節更新）
基本上都會寫過程，仔細驗證一遍。
而當他們辛辛苦苦的驗證完，就會發現……
誒，如果直接用特例函數，答案還真就是對的。
這就是出題老頭的惡趣味。
他確實可以設計出陷阱，不讓這麼明顯的特例存在。
但他偏偏不這麼做。
這就導致了，要麼讓你膽戰心驚的猜對答案；要麼讓你白費工夫的驗證條件。
橫豎都能搞到你心態。
並且由於這是第一題，所以不管怎樣，都能一直噁心你到整場考試結束。
林清淺歪了歪腦袋，經過余源的點撥，她也意識到了出題老師的想法，不由地小聲道：
「好壞的題目。」
果然題目發明出來都是為了難為人的。
「你還要往下看麼？」余源開口道，「後面幾道題應該會更難一些。」
第一題只是搞搞心態，只能說有點惡趣味，難度還算適中。
後面的題，難度肯定會直線上升。
畢竟決賽卷子，填空五題加上大題六題，一共就十一道題。
拿一道題專門用來搞心態就夠奢侈了。
「不了，你看吧。」林清淺輕輕搖頭。
光是這一題，就已經讓她感受到了決賽的難度了。
哪怕余源在旁邊，那種題感特別好的狀態又回來了，她也沒信心能做出來。
想到這，她悄悄看了眼余源。
余源看上去，好像沒什麼壓力的樣子。
林清淺想起余源在採訪里說的，他會通關競賽……也就是拿到國獎。
評論區裡面，其實有不少評論都是看衰余源的……雖然這些人的評論最後都莫名其妙的消失了。
不過林清淺還是看到了。
她和這些人，持完全相反的想法。
她非常看好余源。
····
····
與此同時，余源此刻已經看向第二題了。
【設常數α＞0，則廣義積分
0→+∞∫cosαx/(x^4+4)dx=____】
如他所想的那般，從第二題開始，難度就上來了。
雖然表面看上去，第二題就是個樸實無華的定積分。
但，大道至簡。
在這種難度的卷子上，越是這種看上去很樸素的題目，其實給人的壓力就越大。
就像是面對老實人一樣，乍一看，毫無威脅。
實際上對方真要是豁出去了，威脅極大。
定積分就是這種類型的典範。
實話說，世界上絕大多數的定積分，其實壓根就是沒法用人力算出來的。
只能依靠計算機去計算。
但偏偏，計算定積分是必考的內容。
這就導致了，這些出現在題目里的定積分。
往往是由出題人通過答案，倒推設計出來的。
很多時候，都要依靠「瞪眼法」。
也就是第一眼能看出來怎麼做，就能做出來。
第一眼要是沒看出來該怎麼做……那就麻煩了，說明你還不夠敏感。
還好，余源這人就挺敏感的。
倒不是因為身體原因，而是因為他有0.5點的數理直覺。
「這個定積分……如果用留數法的話…好像會很簡單？」
觀察片刻後，余源有了思路。
留數法是余源前兩天在工程數學書《複變函數與積分變換》中，學到的一種計算定積分的方法。
這種方法，無論是在《高等數學》中還是在《數學分析》中，都沒提到。
放幾天前，在余源也不知道這方法的情況下，做這道題，或許會費勁許多。
但現在，既然知道留數法了，這題對他的複雜程度直線驟減。
「看來，學那幾本工程數學，除了多給了我1點悟性外，對這次競賽也並非沒有幫助。」
余源一邊感嘆，一邊提筆開始計算。
五分鐘後。
【原式=πe^(-α)(sin1+cos1)/8e】
余源長舒一口氣。
找對了方法，即使這題更難一些，花費的時間也比第一題要少了許多。
兩題下來，余源的信心也充足了不少。
所以接下來的半個小時裡，他一口氣做完了剩下的三道填空題。
這其中，最後一道填空壓軸題，是一道線性代數的題目，余源雖然做出來了，但也不是很有把握。
一方面，關於《線性代數》的延伸升級版本的《高等代數》，他還沒完全看完。
另一方面，這道壓軸題除了考察線代外，題目中還涉及了一些工程應用上的結論。
即便余源有0.5點數理直覺以及初級的同伴靈感，對於這種沒涉獵過的東西，也沒法保證能做對。
只能說，不愧是決賽，題目確實有含金量。
「話說，這種卷子，有人能做全對嗎？」余源有些懷疑。
單純的難倒也就算了，可這壓軸題，可以說出的是又難又超綱。
不過也沒辦法，如果不把題目搞得足夠複雜，恐怕也很難起到篩選作用。
這麼想著，余源掏出手機，打開一個神秘軟體，查詢信息。
【豆包豆包，請你用最直白，最不亂編的數據告訴我，歷年全國大學生數學競賽中，一共有多少個滿分？】