第48章 不等式
下午第一節課是數學。
顧宴桉翻開課本，看著數學老師在黑板上寫下公式：a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b ＞ 0，若且唯若a = b時取等。
「這個公式很簡單，但很實用。」數學老師敲了敲黑板，「它告訴我們一個道理：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。說白了，就是和一定的時候，積有最大值；積一定的時候，和有最小值。」
顧宴桉盯著那個公式，手裡的筆沒有動。
「來，我們看一道例題。」數學老師在黑板上寫下題目：已知x ＞ 0，求x + 1/x的最小值。
「這道題直接用基本不等式：x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2。若且唯若x = 1/x，也就是x = 1的時候取等。所以最小值是2。」
顧宴桉在筆記本上抄下這道題。
「再看一道。」數學老師又寫了一道：已知x + y = 10，求xy的最大值。
「這道題也是一樣的思路，x + y = 10，和為定值，那麼乘積就有最大值。用基本不等式：x + y ≥ 2√(xy)，代入得10 ≥ 2√(xy)，所以√(xy) ≤ 5，即xy ≤ 25。若且唯若x = y = 5時取等。」
顧宴桉繼續抄，抄完之後，他看著那個「≤ 25」發了一會兒呆。
「宿主。」小九的聲音在腦海里響起來，「這道題您聽懂了嗎？」
「……聽懂了。」
「那您為什麼在發呆？」
「我在想，當且僅x = y的時候取等。意思是兩個數相等的時候，才能取到最大值。」
「對，這是基本不等式的取等條件。」
「如果兩個數不相等呢？」
「那就取不到最大值。」
顧宴桉沒有再接話，他在草稿紙上寫下一個式子：a + b ≥ 2√(ab)。然後在下面畫了一條橫線。
數學老師又在黑板上出了一道題：已知a、b ＞ 0，且a + b = 8，求ab的最大值。
顧宴桉低頭算了一下，a + b = 8，和是定值，用基本不等式：8 ≥ 2√(ab)，所以√(ab) ≤ 4，ab ≤ 16。若且唯若a = b = 4時取等。
答案是16。
他算對了，但他沒有什麼感覺。只是把答案寫在紙上，然後等著老師講下一題。
「這道題大家都會了吧？那我們看一道變形。」數學老師擦了半塊黑板，寫下新題目：已知x ＞ 0，y ＞ 0，且x + 2y = 12，求xy的最大值。
顧宴桉看著題目，筆尖點在紙上，沒有動。
「這道題要注意，係數不一樣。我們需要把式子變形，讓係數統一。」數學老師在黑板上一步步推導，「x + 2y = 12，我們把2y看作一個整體，令t = 2y，那麼y = t/2。原式變為x + t = 12，要求的是x · t/2的最大值。先用基本不等式求出x · t的最大值，再除以2就可以了。」
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝘛𝘞看書📕𝘴𝘩𝘶.𝘵𝘸網站，觀看最快的章節更新）
顧宴桉跟著老師的步驟算了一遍。x + t = 12，x · t ≤ 36，所以xy = x · t/2 ≤ 18。若且唯若x = t = 6，即x = 6，y = 3時取等。
他算出了正確答案，但放下筆的時候，腦子裡空空的。
「宿主，您今天的狀態不太好。」小九說。
「我知道。」
「您要不要休息一下？」
「不用。」
顧宴桉翻了一頁筆記本，在新的一頁頂端寫下「基本不等式」幾個字。然後他拿起筆，在下面抄了一道例題，又抄了一道，又抄了一道。他抄得很認真，每一道題的步驟都寫全了，連等號都畫得一絲不苟。
數學老師講完知識點，讓大家自己做練習題。教室里安靜下來，只有筆尖摩擦紙張的聲音。顧宴桉低著頭做題，一道接一道。他發現自己其實會做。公式記住了，套路也看懂了，只要認真算，大部分題都能做對。
他做完最後一道練習題，合上筆蓋。
窗外有風吹進來，涼涼的，帶著秋天特有的那種乾燥的氣味。他把目光投向窗外，看著那棵梧桐樹的葉子一片一片地往下掉。葉子落在地上的時候，幾乎沒有聲音。
「宿主。」
「嗯。」
「您今天一共說了七個『嗯』，三個『知道了』，兩個『好』，一個『聽懂了』。總計十三句話。」
顧宴桉沒有回答。
「您以前一天至少會說五十句話以上。」
「以前是以前。」
「現在不一樣了嗎？」
顧宴桉沉默了一會兒，下課鈴響了。同學們紛紛站起來，伸懶腰的伸懶腰，聊天的聊天，有人後排跑到前排借筆記，有人趴在桌上補覺，教室里一下子熱鬧起來。
顧宴桉沒有動他仍然坐在座位上，看著窗外。秋風從窗口灌進來，吹動了他桌上的草稿紙，紙張嘩啦翻了一下，露出他剛才寫的那幾行算式。
a + b ≥ 2√(ab)
若且唯若a = b時取等。
他伸手按住那張紙，把被風吹起的邊角撫平。
「小九。」
「在。」
「基本不等式，a和b相等的時候才能取到最大值。如果它們不相等，就只能無限接近，但永遠達不到那個值。」
「對。」
顧宴桉沒有再說什麼，他低頭看了一會兒桌上那幾行算式，然後把筆記本合上，放在桌角。旁邊有同學喊他去打水，他搖了搖頭，說不想去。
教室里的人越來越少，有人去了小賣部，有人去了操場。顧宴桉仍然坐在座位上，沒有動。他盯著黑板上的公式，盯了很久。
下課還剩五分鐘的時候，他拿起筆，在草稿紙的邊緣寫了一行很小的字：
「我也想取等。」
寫完看了一會，把那一頁撕下來，揉成一團，扔進了桌洞裡。
顧宴桉翻開課本，看著數學老師在黑板上寫下公式：a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b ＞ 0，若且唯若a = b時取等。
「這個公式很簡單，但很實用。」數學老師敲了敲黑板，「它告訴我們一個道理：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。說白了，就是和一定的時候，積有最大值；積一定的時候，和有最小值。」
顧宴桉盯著那個公式，手裡的筆沒有動。
「來，我們看一道例題。」數學老師在黑板上寫下題目：已知x ＞ 0，求x + 1/x的最小值。
「這道題直接用基本不等式：x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2。若且唯若x = 1/x，也就是x = 1的時候取等。所以最小值是2。」
顧宴桉在筆記本上抄下這道題。
「再看一道。」數學老師又寫了一道：已知x + y = 10，求xy的最大值。
「這道題也是一樣的思路，x + y = 10，和為定值，那麼乘積就有最大值。用基本不等式：x + y ≥ 2√(xy)，代入得10 ≥ 2√(xy)，所以√(xy) ≤ 5，即xy ≤ 25。若且唯若x = y = 5時取等。」
顧宴桉繼續抄，抄完之後，他看著那個「≤ 25」發了一會兒呆。
「宿主。」小九的聲音在腦海里響起來，「這道題您聽懂了嗎？」
「……聽懂了。」
「那您為什麼在發呆？」
「我在想，當且僅x = y的時候取等。意思是兩個數相等的時候，才能取到最大值。」
「對，這是基本不等式的取等條件。」
「如果兩個數不相等呢？」
「那就取不到最大值。」
顧宴桉沒有再接話，他在草稿紙上寫下一個式子：a + b ≥ 2√(ab)。然後在下面畫了一條橫線。
數學老師又在黑板上出了一道題：已知a、b ＞ 0，且a + b = 8，求ab的最大值。
顧宴桉低頭算了一下，a + b = 8，和是定值，用基本不等式：8 ≥ 2√(ab)，所以√(ab) ≤ 4，ab ≤ 16。若且唯若a = b = 4時取等。
答案是16。
他算對了，但他沒有什麼感覺。只是把答案寫在紙上，然後等著老師講下一題。
「這道題大家都會了吧？那我們看一道變形。」數學老師擦了半塊黑板，寫下新題目：已知x ＞ 0，y ＞ 0，且x + 2y = 12，求xy的最大值。
顧宴桉看著題目，筆尖點在紙上，沒有動。
「這道題要注意，係數不一樣。我們需要把式子變形，讓係數統一。」數學老師在黑板上一步步推導，「x + 2y = 12，我們把2y看作一個整體，令t = 2y，那麼y = t/2。原式變為x + t = 12，要求的是x · t/2的最大值。先用基本不等式求出x · t的最大值，再除以2就可以了。」
（由於緩存原因，請用戶直接瀏覽器訪問𝘛𝘞看書📕𝘴𝘩𝘶.𝘵𝘸網站，觀看最快的章節更新）
顧宴桉跟著老師的步驟算了一遍。x + t = 12，x · t ≤ 36，所以xy = x · t/2 ≤ 18。若且唯若x = t = 6，即x = 6，y = 3時取等。
他算出了正確答案，但放下筆的時候，腦子裡空空的。
「宿主，您今天的狀態不太好。」小九說。
「我知道。」
「您要不要休息一下？」
「不用。」
顧宴桉翻了一頁筆記本，在新的一頁頂端寫下「基本不等式」幾個字。然後他拿起筆，在下面抄了一道例題，又抄了一道，又抄了一道。他抄得很認真，每一道題的步驟都寫全了，連等號都畫得一絲不苟。
數學老師講完知識點，讓大家自己做練習題。教室里安靜下來，只有筆尖摩擦紙張的聲音。顧宴桉低著頭做題，一道接一道。他發現自己其實會做。公式記住了，套路也看懂了，只要認真算，大部分題都能做對。
他做完最後一道練習題，合上筆蓋。
窗外有風吹進來，涼涼的，帶著秋天特有的那種乾燥的氣味。他把目光投向窗外，看著那棵梧桐樹的葉子一片一片地往下掉。葉子落在地上的時候，幾乎沒有聲音。
「宿主。」
「嗯。」
「您今天一共說了七個『嗯』，三個『知道了』，兩個『好』，一個『聽懂了』。總計十三句話。」
顧宴桉沒有回答。
「您以前一天至少會說五十句話以上。」
「以前是以前。」
「現在不一樣了嗎？」
顧宴桉沉默了一會兒，下課鈴響了。同學們紛紛站起來，伸懶腰的伸懶腰，聊天的聊天，有人後排跑到前排借筆記，有人趴在桌上補覺，教室里一下子熱鬧起來。
顧宴桉沒有動他仍然坐在座位上，看著窗外。秋風從窗口灌進來，吹動了他桌上的草稿紙，紙張嘩啦翻了一下，露出他剛才寫的那幾行算式。
a + b ≥ 2√(ab)
若且唯若a = b時取等。
他伸手按住那張紙，把被風吹起的邊角撫平。
「小九。」
「在。」
「基本不等式，a和b相等的時候才能取到最大值。如果它們不相等，就只能無限接近，但永遠達不到那個值。」
「對。」
顧宴桉沒有再說什麼，他低頭看了一會兒桌上那幾行算式，然後把筆記本合上，放在桌角。旁邊有同學喊他去打水，他搖了搖頭，說不想去。
教室里的人越來越少，有人去了小賣部，有人去了操場。顧宴桉仍然坐在座位上，沒有動。他盯著黑板上的公式，盯了很久。
下課還剩五分鐘的時候，他拿起筆，在草稿紙的邊緣寫了一行很小的字：
「我也想取等。」
寫完看了一會，把那一頁撕下來，揉成一團，扔進了桌洞裡。